Высшая математика - вариант 13

ЗАДАНИЕ 1

Найти локальные экстремумы функции двух переменных.

ЗАДАНИЕ 2

Имеются изделия трёх сортов, причём число изделий i-го сорта равно nі (i = 1,2,3). Для контроля наудачу берут m изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 изделий первого сорта, m2 и m3 – второго и третьего сортов соответственно ( = m).

ЗАДАНИЕ 3

У студента в сессию N экзаменов. Вероятности того, что студент сдаст каждый из N экзаменов успешно, соответственно равны pi, i=1,…,N. Найти вероятность того, что студент сдаст успешно:

N=3, p1=0,8; p2=0,9; p3=0,6

      а) три экзамена; б) не менее двух экзаменов; в) не более двух экзаменов.

ЗАДАНИЕ 4

В магазин привозят хлеб с трёх хлебозаводов. Известно, что с завода № 1 привозят а % всего хлеба, поступающего в магазин, с завода № 2 – b % и остальной – с завода № 3. Продукция завода № 1 содержит m % хлеба «Ситный», заводов № 2 и № 3 соответственно n % и p %.

Найти вероятность того, что купленная в магазине булка хлеба «Ситный» изготовлена заводом № 2.

ЗАДАНИЕ 5

Вероятность всхожести хранящегося на складе зерна равна р. Отбираются первые попавшиеся n зерен. Требуется определить вероятность того, что среди них число всхожих зерен окажется:

а) от k2 до k3;

б) ровно k1.

ЗАДАНИЕ 6

Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью р и подчинено биномиальному закону распределения.

Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений колоний микроорганизмов в k наугад взятых пробах.

Найти интегральную функцию распределения F(x) и построить ее график.

Вычислить математическое ожидание M (X), дисперсию D (X) и среднее квадратичное отклонение s (Х).

ЗАДАНИЕ 7

Дана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти:

1) коэффициент с;

2) f (x), M (X), D (X);   3) P ().

Построить графики функций F(x), f(x).

F(x)=                 

     .                                       

ЗАДАНИЕ 8

Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Найти:

вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее         интервалу (a, b); вероятность того, что абсолютная величина отклонения |Х – а |                     окажется меньше δ: а = 8, σ = 1,  a = 4,  b = 9,  δ = 6.

ЗАДАНИЕ 9

По результатам измерений геометрических размеров (длина, высота, толщина) печенья получены следующие данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:

cоставить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных; построить полигон и гистограмму относительных частот; найти эмпирическую функцию распределения и построить её график; вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочное среднее квадратичное отклонение ); приняв уровень значимости , по критерию Пирсона проверить степень согласия теоретического и эмпирического                     распределений; если эмпирическое распределение согласуется с нормальным, то построить доверительный интервал, накрывающий неизвестное                     математическое ожидание случайной величины Х с доверительной                     вероятностью р = 1 – α = 0,95.

Таблица 1

Указание: Рассматривать выборку объёма n = 50. Для каждого конкретного варианта надо выбрать из 10 предложенных строк статистических данных таблицы 1 только 5 строк согласно таблице 2:

     Таблица 2

Задание 10

Используя геометрическую интерпретацию, найти решение задачи.

Задание 10

Кондитерская фабрика для изготовления трех видов карамели К1, К2, К3 использует три вида сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы аij расхода сырья каждого вида на производство одной тонны карамели данного вида приведены в таблице 2. В таблице 2 указаны также общее количество bi сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, и прибыль cj (ден.ед.) от реализации одной тонны карамели каждого вида.

Таблица 2

Требуется:

Определить оптимальный ассортимент выпускаемой продукции, доставляющий фабрике максимум прибыли. Составить модель двойственной задачи. Записать ее оптимальное решение. Дать содержательный экономический анализ основных и дополнительных переменных прямой и двойственной задач. Построить матрицу коэффициентов взаимозаменяемости ресурсов. Дать экономическую интерпретацию ее элементов. Оценить целесообразность введения в план производства четвертого вида карамели К4, нормы расхода сырья на одну тонну которого равны 3, 1, 2, а прибыль от его реализации составляет 5 ден. ед.

Вариант 13

Задание 11

 На трех хлебокомбинатах А1, А2 , А3 ежедневно производится а1, а2, а3 тонн муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами В1, В2, В3, В4. Ежедневные потребности этих хлебозаводов равны соответственно b1, b2, b3, b4 тонн. Тарифы перевозок одной тонны муки с хлебокомбината к каждому из хлебозаводов задаются матрицей С = (сij). Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Вариант 13

Задание 12

 Студенческие отряды СО-1, СО-2, СО-3 численностью в с1, с2, с3 человек принимают участие в сельскохозяйственных работах. Для уборки картофеля на полях П1, П2, П3, П4 необходимо выделить соответственно р1, р2, р3, р4 человек. Производительность труда студентов зависит от урожайности картофеля, а также от состава отряда и характеризуется для указанных отрядов и полей элементами матрицы Р = (рij)3x4 (в центнерах на человека за рабочий день). Данные представлены в таблице 4.

Таблица 4

Требуется:

Распределить студентов по полям так, чтобы за рабочий день было убрано максимальное количество картофеля. Определить, сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении студентов.

Вариант 13

Задание 13

Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать картофель на трех участках: У1 – участок с повышенной влажностью, У2 – участок со средней влажностью, У3 – участок сухой. Урожайность картофеля зависит от погодных условий, и в частности от количества осадков, выпадающих в течение сезона. По данным службы долгосрочного прогнозирования погоды вероятность выпадения осадков в данном регионе ожидается: меньше нормы – р1, ближе к норме – р2, больше нормы – р3. Урожайность картофеля (ц / га) на участках У1, У2, У3 в зависимости от погодных условий представлена матрицей (У)3х3:

.

Требуется:

Придать описанной ситуации игровую схему, выявить участников игры, указать допустимые стратегии игроков. Составить платежную матрицу. Дать рекомендации о том, на каком участке следует выращивать картофель в предстоящем году.

При исследовании платежной матрицы использовать критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (γ = 0,8).

Задание 14

Рассчитать непосредственно на сетевом графике комплекса работ:

Ранние и поздние сроки свершения событий; Резервы времени событий; Минимальное время выполнения комплекса (критический срок); Выделить на сетевом графике критический путь; Для некритических работ найти полные и свободные резервы времени.