Оглавление
Введение. 2
Характеристические функции. Основные определения и свойства.. 4
1.1. Случайные величины.. 4
1.2. Определение характеристической функции. 11
1.3. Свойства характеристической функции. 11
1.4. Равномерное непрерывное распределение. 19
1.5. Нормальный закон распределения. 20
1.6. Закон распределения Пуассона. 24
1.7. Случайный процесс. Характеристическая функция случайного процесса 25
Применение метода характеристических функций для решения некоторых задач теории вероятностей.. 34
2.1. Доказательство центральной предельной теоремы.. 34
2.2. Два примера вычисления характеристических функций. 39
2.3. Некоторые свойства характеристических функций. 40
2.4.Теорема Пойа о характеристических функциях. 42
2.5. Характеристические функции решетчатых распределений. 50
2.6. Решение задач с использованием характеристических функций. 51
2.6.1 Задача 1. 51
2.6.2 Задача 2. 53
2.6.3 Задача 3. 54
2.6.4 Задача 4. 55
Заключение. 56
Литература.. 58
2.6. Решение задач с использованием характеристических функций
2.6.1 Задача 1
Задача о числе ожерелий.
Имеется неограниченный запас бусинок k цветов. Сколько можно составить различных ожерелий из n бусинок (ожерелья, получаемые плоскими вращениями не будем различать)? Считая, что бусинки располагаются в вершинах правильного n-угольника, сведем задачу к задаче о числе геометрически различных (т.е. не получающихся друг из друга вращениями в плоскости) раскрасок вершин правильного n-угольника в k цветов. При этом D - множество вершин, R - множество цветов, |D|=n, |R|=k; RD - множество раскрасок.......
2.6.2 Задача 2
Парадокс дней рождений
Сколько студентов (в среднем) должно быть в группе, чтобы нашлось хотя бы двое с одинаковыми днями рождения?
г) Дни рождения. Дни рождения r людей образуют выборку объема г из генеральной совокупности всех дней в году. Не все годы имеют одинаковую длину, и известно, что рождаемость в течение года не вполне постоянна. Однако в первом приближении можно считать, что случайный выбор людей приводит к случайному выбору дней рождения. Кроме того, проигнорируем для простоты существование високосных годов и рассмотрим случайную выборку r дней рождения из года в 365 дней......
2.6.3 Задача 3
Доказать, что характеристическая функция любого распределения равномерно непрерывна на всей вещественной прямой.
Решение:
Пусть - произвольная характеристическая функция, а - соответствующая ей функция распределения.
Получаем:......
2.6.4 Задача 4
Пусть - произвольная характеристическая функция. Доказать, что функция также является характеристической.
Решение:
Разложим данную функцию......
Список использованной литературы:
Гнеденко Б.В. "Курс теории вероятностей", Москва, "Наука"1988. .Вентцель Е.С. "Теория вероятностей", Москва, "Высшая школа"1998. Гмурман Е.В. "Теория вероятностей и математическая статистика", Москва, "Высшая школа"2003. Фирсов А.Н. "Теория вероятностей. Часть I", Санкт-Петербург, 2005. Кибзун. "Теория вероятностей и математическая статистика". Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. – М.: Наука, 1982. – 296 с. Хомченко А.Н. Метод конечных элементов: стохастический подход / Ив.-Франк. ин-т нефти и газа. – Ивано-Франковск, 1982. – Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416 с. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986. Булинский А.В., А.Н. Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. - М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний, 2003. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Физматлит, 1975. Волков И.К. ,Зуев С.М. , Цветкова Г.М. Теория случайных процессов. - М.: МГТУ им.Н.Э. Баумана, 1999. Б. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975 Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965. Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.
