Некоторые обобщения классических задач элементарной теории вероятности. Парадокс Бертрана

Фрагмент работы:

1.1. История развития теории вероятностей

Теорию вероятностей можно описательно определить как математическую теорию случайных явлений.

В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д. "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего, мы на всю неделю поедем в деревню", "это совершенно невероятно!", "есть шанс, что успешно сдам экзамен" и т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие.

Вероятность математическая – числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторятся неограниченное число раз условиях.

Во второй половине XIX века вероятность вошла в физику в процессе разработки молекулярно-кинетической теории.

.....

1.4. Понятие вероятности события

1.4.1  Классическое понятие вероятности события.

Бросаем игральную кость. Выпасть может или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих "тогда" так много, что трудно всех их учесть.

Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, появляется не чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.

.....

2.1.3. Игла на прямоугольной решетке

В этом случае плоскость разграфлена двумя системами параллельных прямых: горизонталями с интервалом а и вертикалями с интервалом b. На плоскость наугад бросается игла длины . Найти вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Теперь плоскость покрыта ортогональной сеткой с прямоугольными ячейками. Понятно, что неравномерная дискретизация () деформирует круг  Ω в эллипс. Обычно с помощью такой сетки моделируют физическую ортотропию среды, а эллиптическое диффузионное пятно можно наблюдать в лабораторных экспериментах. В центре эллипса пересекаются контрольная горизонталь (КГ) и контрольная вертикаль (КВ). Кроме события А в рассмотрение вводится случайное событие  В={игла пересекает КВ}. Поскольку А и В  совместны, вычислительная формула имеет вид:

.....

2.1. Задача о встрече с двумя лицами

Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?

Решение. Обозначим момент прихода лица А через х и лица В – через у. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы ôх-уô£10. Изобразим х и у как координаты на плоскости, в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы представляются точками квадрата со стороной 60, а благоприятствующие встрече располагаются в заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (рис. 12) к площади всего квадрата:

....

2.2.3. Вероятность встречи различна

Три студента А, В, и С договорились о встрече между 12⁰⁰ и 13⁰⁰. В течение этого часа каждый студент может прийти в случайный момент времени. А ждет 15 минут, В -10 минут, а С – вообще не ждет (считаем, что находится на месте встречи одну минуту). Требуется определить вероятность, что все трое встретятся.

.....

2.3.  Парадокс Бертрана

Взаимно однозначное преобразование может совершенно изменить шансы. Например, если мы случайным образом выбираем точку на интервале (0,1), то шансы выбрать число, которое меньше 1/2, равны 50 %. Однако если все числа из (0, 1) возвести в квадрат и равномерно выбирать из этих квадратов, то шансы увеличатся до 65,6 %. Конечно, первый ответ, т. е. 50 %, более естественней. Однако в других задачах выбор между естественным и неестественным ответами может оказаться более сложным. Такой выбор не всегда возможен на основе лишь логических рассуждений без учета данных практики. Именно в этом суть парадокса, который носит имя Жозефа Луи Бертрана.

Формулировка задачи.

Для некоторой окружности случайным образом, выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность.

Парадокс утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно, т. е. различные методы приводят к разным результатам.

Список использованной литературы:

Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. – М.: Мир, 1990. – 240 с. Математическая энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия. Т.1. А-Г. 1977. – С.571-572. Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. – М.: Наука, 1972. – 192 с. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. – М.: Наука, 1983. – 360 с. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. – М.: Наука, 1982. – 296 с. Хомченко А.Н. Метод конечных элементов: стохастический подход / Ив.-Франк. ин-т нефти и газа. – Ивано-Франковск, 1982. – 7 с. Деп. В ВИНИТИ 15.10.82, №5167. Хомченко А.Н. Вероятностные схемы в дискретном анализе температурных полей // Инж.-физич. журнал. – 1988. Т.55, №2. – С.323-324. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.

Цена сегодня: 65.00 бел.руб.

---

Вы находитесь на сайте как незарегистрированный пользователь.
Для покупки работы Вам необходимо заполнить все поля ниже: