Фрагмент работы:

1.1. Основные определения и свойства производящих функций последовательностей

Производящая функция последовательности {an} — это формальный степенной ряд:

.

Экспоненциальная производящая функция последовательности {an} = это формальный степенной ряд:

.

Довольно часто производящая функция интересующей последовательности {an} является рядом Тейлора известной аналитической функции , и это может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Тем не менее, следует отметить, что производящей функции не обязана соответствовать аналитическая функция.

Например, оба ряда:

 и

имеют радиус сходимости ноль, т.е. расходятся во всех точках, кроме нуля, а в нуле оба дают 1, т.е. как функции они совпадают; тем не менее, как производящие функции (т.е. формальные ряды) они различны.

.....

2. Применение производящих функций для решения некоторых задач теории  вероятностей

2.1. Задача 1

Пусть  - производящая функция неотрицательной случайной величины . Рассмотрим новые случайные величины  и  ( - натуральное число). Требуется выразить производящие функции и  через .

В представлении функции  величина  имеет смысл соответствующей вероятности случайной величины .

Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X+Y, которая принимает все значения вида zij=xi+yj(i=1,2,..n; j=1,2,...,m) с вероятностями pij, причем pij=P(X=xi;Y=yj)=P(X=xi)*PX=xi(Y=yj).

В данном случае случайная величина Y является натуральным числом, поэтому:

Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется новая случайная величина Z=kX, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений случайной величины Х на k, т.е. =xi². В данном случае случайная величина Y является натуральным числом, поэтому:

.....

2.2. Задача 2

При каких значениях параметров , ,  и  дробно-линейная функция  является производящей функцией вероятностного распределения?

Производящая функция вероятностного распределения должна однозначно его определять. Пусть ,  суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций вероятностного распределения влечёт совпадение функций вероятности.

....

2.3. Задача 3

Пусть  и  - случайные величины, причем  принимает значения 0 и 1 с вероятностями ½ каждая, а  - значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями ¹/8, ¼, ½, и ¹/8, соответственно. Доказать, что не существует величины , не зависящей от  и такой, что .

Предположим, что такая случайная величина  существует. Обозначим , ,  производящие функции случайных величин , , и  соответственно.

Получаем:

Список использованной литературы:

Гнеденко Б.В. "Курс теории вероятностей", Москва, "Наука"1988. .Вентцель Е.С. "Теория вероятностей", Москва, "Высшая школа"1998. Гмурман Е.В. "Теория вероятностей и математическая статистика", Москва, "Высшая школа"2003. Фирсов А.Н. "Теория вероятностей. Часть I", Санкт-Петербург, 2005. Кибзун. "Теория вероятностей и математическая статистика". Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. – М.: Наука, 1982. – 296 с. Хомченко А.Н. Метод конечных элементов: стохастический подход / Ив.-Франк. ин-т нефти и газа. – Ивано-Франковск, 1982. – Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416 с. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986. Булинский А.В., А.Н. Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. - М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний, 2003. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Физматлит, 1975. Волков И.К. ,Зуев С.М. , Цветкова Г.М. Теория случайных процессов. - М.: МГТУ им.Н.Э. Баумана, 1999. Б. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975 Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965. Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972. Бородин О.В. Дискретная математика: Учебное Пособие. Часть 1. Новосибирск: НГУ, 2009. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики, Т. I, под редакцией С.В. Яблонского. М.: Наука, 1974. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения: Учебное пособие / Под ред. Рыбникова К.А./ М.: Наука, 1982. Косточка А. В., Соловьева Ф. И. Дискретная математика: Учеб. пособие/ Новосиб. гос. ун-т, Мех.-мат. фак., Каф. теорет. кибернетики. - Новосибирск: НГУ, 2001. Ландо С.К. Лекции о производящих функциях. - МЦНМО , 2007 Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988. Редькин Н.П. Дискретная математика. Санкт-Петербург, Москва, Краснодар. Лань, 2003. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980. Рыбников К.А.Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1982.

Цена сегодня: 75.00 бел.руб.

---

Вы находитесь на сайте как незарегистрированный пользователь.
Для покупки работы Вам необходимо заполнить все поля ниже: