Фрагмент работы:

5 Пятый постулат Евклида, попытка его доказать

 

Многие геометры прошлых веков обратили внимание на сложность формулировки пятого постулата Евклида. У многих из них возникла мысль: не является ли пятый постулат теоремой, нельзя ли его доказать? На протяжении двух тысячелетий многие выдающиеся математики пытались решить эту проблему. Иногда казалось, что они добились успеха, но позднее в их рассуждениях обнаруживались изъяны.

Во многих книгах описывается любопытный случай, который якобы произошел со знаменитым французским математиком и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Рассказывают, что Лагранж попытался доказать знаменитый пятый постулат. Он якобы начал читать свой доклад в академии, но потом остановился и сказал: «Нужно, чтобы я еще подумал об этом».

Неоднократно пытался доказать пятый постулат Евклида и соотечественник Лагранжа знаменитый математик Адриен Мари Лежандр (1752 - 1833). Эти «доказательства» были опубликованы в различных изданиях его «Начал геометрии». Последняя неудачная попытка Лежандра доказать постулат была сделана в 1823 г.

На протяжении двадцати веков ни одна из многочисленных попыток доказать пятый постулат не привела к желаемому результату. У некоторых математиков возникла идея попытаться доказать пятый постулат методом от противного. Отсюда остается лишь один шаг до вывода о том, что пятый постулат не зависит от остальных аксиом евклидовой геометрии. Но авторитет «Начал» был все еще столь велик, что сделать этот шаг было отнюдь не просто.

Рассмотрим теперь некоторые интересные попытки доказать пятый постулат Евклида. Эти попытки отделяют друг от друга десятки столетний. Первое «доказательство» принадлежит древнегреческому философу-идеалисту математику Проклу (ок. 410 - 485 гг.), второе - венгерскому математику Фаркашу Больяйю (1775 - 1856).

 

 

5.1 Доказательство Прокла

 

В процессе доказательства пятого постулата Прокл сделал следующее допущение, считая его очевидным: расстояние от точки, лежащей на одной стороне острого угла, до другой его стороны возрастает при удалении этой точки от вершины угла (рисунок 4).

 

Рисунок 4 – Допущение Прокла

 

Заметим, кстати, что это предложение может быть доказано без использования пятого постулата или какого-нибудь эквивалентного ему предложения. Для того чтобы придать доказательству Прокла большую строгость, будем считать, что сформулированное выше предложение строго доказано.

Пусть даны две параллельные прямые  и , а также прямая , пересекающая прямую  в точке  (рисунок 5).

 

 

Рисунок 5 – Доказательство предложения Прокла

 

Тогда по мере удаления точки  от вершины угла  расстояние  безгранично возрастает. Но так как расстояние между параллельными является постоянным, то прямая c обязательно пересекает прямую .

Следовательно, существует единственная прямая , проходящая через точку  и не пересекающая прямую . Отсюда следует справедливость пятого постулата Евклида. Но так как в своем доказательстве Прокл исходит из того, что расстояние между параллельными является константой. Это допущение незаконно введено в доказательство. Оно является новым постулатом, равносильным пятому постулату Евклида [7, c. 35].

 

 

5.2 Доказательство Ф. Больяйя

 

Суть проблемы пятого постулата, как известно, состоит в том, чтобы доказать его, не вводя новых аксиом.

Математики, пытавшиеся доказать пятый постулат (всего известно около 250 доказательств), допускали двоякого рода ошибки. Во-первых, они незаметно для себя вводили в ход рассуждений «очевидный факт, который оказывался эквивалентом пятого постулата. Во-вторых, они сознательно дополняли систему аксиом новым постулатом, который в свою очередь оказывался эквивалентом пятого постулата. Следовательно, в обоих случаях математики попадали в ловушку «порочного круга».

Приведенное ниже доказательство относится ко второму типу доказательств пятого постулата Евклида.

Ф. Больяй дополнил евклидову аксиоматику следующим предложением (постулат Больяйя): «Три точки, не лежащие на одной прямой, всегда принадлежат некоторой окружности» (рисунок 6).

Итак, пусть имеет место постулат Ф. Больяйя.

 

Рисунок 6 – Доказательство постулата Больяйя

 

Проведем к отрезку  перпендикуляр  и наклонную  (рисунок 6). Возьмем на отрезке  (или   на   его   продолжении) произвольную точку  и построим симметричную ей точку     относительно прямой  Аналогично построим точку   ,   симметричную   точке относительно прямой .

 Точки , ,  на одной прямой не лежат, так как прямая '  перпендикулярна прямой , а прямая  не перпендикулярна этой прямой.

В силу постулата Ф. Больяйя три точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат некоторой окружности. Таким образом, точки , , , принадлежат окружности. Отсюда следует, что прямые  и  являются серединными перпендикулярами к хордам   и , т. е. прямые  и  пересекаются в точке  - центре окружности.

Отсюда следует, что имеет место пятый постулат Евклида [8, c. 54].

Рассмотренные рассуждения не являются строгим доказательством пятого постулата, так как использованный нами постулат Ф. Больяйя является эквивалентом пятого постулата. Следовательно, налицо «порочный круг».

 

 

Список использованной литературы:

Силин, А.В. Открываем неевклидову геометрию / А.В. Силин, Н.А. Шмакова. – Мн.: Просвещение, 1988.  Кодомцев, С.Б. Геометрия Лобачевского и физика / С.Б. Кодомцев. – Изд. 3-е. – Мн.: Книжный Дом «ЛИБРОКОМ», 2009.  Лаптев, Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение / Б.Л. Лаптев - Мн.: Просвещение, 1976. 

Цена сегодня: 60.00 бел.руб.

---

Вы находитесь на сайте как незарегистрированный пользователь.
Для покупки работы Вам необходимо заполнить все поля ниже: