Задача 1 (Тема 2)
Фирма принимает заказы на выполнение работ. Если в момент поступления заявки хотя бы один мастер свободен, заявка принимается. В противном случае заявка теряется. Известно, что в среднем поступает λ заказов в час, среднее время обслуживания одного заказа составляет часов. (При этом время поступления и время обслуживания заказов случайны и распределены экспоненциально.) Доход, получаемый фирмой в результате выполнения одного заказа, в среднем равен c ден. ед., а мастеру платят w ден. ед. в час.
Требуется определить количество мастеров, при котором прибыль фирмы максимальна.
Значения параметров , , и приведены в таблице:
|
Параметры |
Номер варианта |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
2,80 |
6,80 |
4,80 |
5,60 |
3,60 |
6,40 |
5,20 |
4,40 |
6,00 |
3,20 |
|
|
0,71 |
0,29 |
0,42 |
0,36 |
0,56 |
0,31 |
0,38 |
0,45 |
0,33 |
0,63 |
|
|
8,37 |
5,37 |
6,39 |
5,92 |
7,38 |
5,53 |
6,14 |
6,67 |
5,72 |
7,83 |
|
|
2,51 |
3,91 |
3,29 |
3,55 |
2,85 |
3,79 |
3,42 |
3,15 |
3,67 |
2,68 |
|
Задача 2 (Тема 3)
Предприятие использует ресурсы пяти видов. Годовая потребность в ресурсе вида равна единиц ресурса. Издержки размещения заказов и удельные издержки содержания запасов составляют и ден. ед., соответственно. Расход складской площади на единицу ресурса вида равен кв. м. Общая величина площади складских помещений равна 260 кв. м. Требуется:
определить оптимальные партии поставок ресурсов при ограничении на максимальный уровень запасов; оценить уменьшение общих расходов на размещение заказов и содержание запасов при увеличении складских помещений на 10 кв. м.
Значения параметров hi, xi, yi, zi. приведены в таблице (см. ниже). Значение параметра определяется формулой: .
|
hi |
xi |
yi |
zi |
|
|
1 |
800 |
4 |
16 |
2 |
|
2 |
1600 |
5 |
40 |
3 |
|
3 |
1800 |
6 |
6 |
4 |
|
4 |
1500 |
6 |
20 |
3 |
|
5 |
2000 |
3 |
30 |
1,5 |
Задача 3 (Тема 3)
Потребность v предприятия в ресурсе в течение некоторого периода времени представляет собой случайную величину, подчиняющуюся распределению Пуассона с математическим ожиданием λ. Издержки содержания одной единицы ресурса в течение рассматриваемого периода равны s денежных единиц (ден. ед.). Потери, связанные с дефицитом одной единицы ресурса, равны c ден. ед.
Требуется:
найти оптимальный начальный запас r, при котором ожидаемые суммарные издержки, связанные с содержанием избыточного количества ресурса и с дефицитом ресурса, минимальны; при найденном оптимальном начальном запасе найти коэффициенты надежности и риска и страховой запас.
Исходные данные:
λ = 7,1 c = 8,6 s = 3,4
Задача 4 (Тема 4)
Издержки фирмы на производство продукции составляют денежных единиц в расчете на 1 единицу продукции.
Фирма реализует продукцию по цене ден.ед. Непроданный товар реализуется по сниженной цене, равной ден.ед.
Спрос может составлять , , и шт.
Требуется:
Построить платежную матрицу. Определить оптимальное количество производимой продукции с помощью критериев Байеса и Лапласа. Определить оптимальное количество производимой продукции с помощью критериев Вальда и Гурвица (при заданном значении параметра ). Построить матрицу рисков и определить оптимальное количество производимой продукции с помощью критерия Сэвиджа.
Значения параметров , , , (где ) и приведены в таблице.
|
18 |
|
|
27 |
|
|
16,2 |
|
|
360 |
|
|
450 |
|
|
540 |
|
|
630 |
|
|
р1 |
0,2 |
|
р2 |
0,25 |
|
р3 |
0,35 |
|
р4 |
0,2 |
|
γ |
0,54 |
Задача 5 (Тема 5)
Осуществление проекта требует выполнения ряда работ. Номера работ, их продолжительности и перечни работ, которые должны быть закончены к началу выполнения других работ, приведены в табл. 5.
Требуется:
построить сетевой график выполнения работ; рассчитать минимальное время выполнения всего комплекса работ; определить ранние и поздние сроки начала и окончания работ, и их полные и свободные резервы времени; найти критические работы и построить критический путь (на сетевом графике).
Таблица 5
|
Номера работ |
Предше-ствующие работы |
Продолжительность работы, дн. |
|||||||||
|
Номер варианта |
|||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
|
1 |
– |
65 |
15 |
45 |
60 |
35 |
40 |
10 |
20 |
30 |
55 |
|
2 |
– |
39 |
9 |
27 |
36 |
21 |
24 |
6 |
12 |
18 |
33 |
|
3 |
1 |
91 |
21 |
63 |
84 |
49 |
56 |
14 |
28 |
42 |
77 |
|
4 |
1 |
78 |
18 |
54 |
72 |
42 |
48 |
12 |
24 |
36 |
66 |
|
5 |
2 |
91 |
21 |
63 |
84 |
49 |
56 |
14 |
28 |
42 |
77 |
|
6 |
4, 5 |
39 |
9 |
27 |
36 |
21 |
24 |
6 |
12 |
18 |
33 |
|
7 |
4, 5 |
130 |
30 |
90 |
120 |
70 |
80 |
20 |
40 |
60 |
110 |
|
8 |
3, 6 |
104 |
24 |
72 |
96 |
56 |
64 |
16 |
32 |
48 |
88 |
Задача 6 (тема 6)
Начальные инвестиции в проект равны , коэффициент прибыли – для всех лет, коэффициент реинвестирования – для первого года, для второго года, и для всех последующих лет (начиная с третьего). Внутренняя доходность альтернативных проектов – r. (Значения приведены в табл. 6.)
Требуется:
определить свободные денежные потоки для первого, второго и третьего лет; оценить рыночную стоимость проекта в начале третьего года; определить текущую и чистую текущую стоимости проекта; записать уравнение для определения внутренней доходности проекта и решить это уравнение на ЭВМ средствами Excel.
Таблица 6
|
|
Номер варианта |
|||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1000 |
2000 |
1500 |
1600 |
1100 |
1300 |
1800 |
1900 |
1700 |
1200 |
|
|
40% |
25% |
30% |
35% |
45% |
42% |
32% |
28% |
34% |
36% |
|
|
91% |
83% |
70% |
87% |
82% |
95% |
92% |
74% |
65% |
62% |
|
|
72% |
64% |
65% |
67% |
53% |
45% |
38% |
63% |
52% |
48% |
|
|
24% |
30% |
28% |
22% |
15% |
12% |
14% |
18% |
19% |
17% |
|
|
r |
26% |
19% |
24% |
25% |
22% |
23% |
27% |
18% |
28% |
23% |
Задача 7 (Тема 8)
Строительная фирма изучает спрос на квартиры в большом городе. В нижеследующих таблицах представлены данные по ценам для 30 квартир и по следующим факторам (влияющим на цены):
общая площадь; жилая площадь; число комнат в квартире; площадь кухни; наличие балкона (1 – есть, 0 – нет).
Требуется:
построить линейную регрессионную модель для оценки зависимости рыночной стоимости квартир от всех пяти объясняющих факторов и найти выборочные коэффициенты регрессии методом наименьших квадратов; с помощью статистики Фишера проверить гипотезу о незначимости всех объясняющих факторов одновременно при уровне значимости ; с помощью алгоритма пошаговой регрессии, основанном на использовании статистик Стьюдента при уровне значимости , построить оптимальный набор объясняющих факторов; построить линейную регрессионную модель для оценки зависимости рыночной стоимости квартир от наиболее значимых факторов, найти выборочные коэффициенты регрессии для такой модели и оценить рыночную стоимость квартиры со следующими характеристиками:
|
Общая площадь (кв.м.) |
Жилая площадь (кв.м.) |
Число комнат |
Площадь кухни (кв.м.) |
Наличие балкона (1 – да, 0 – нет) |
|
53 |
48 |
3 |
7 |
1 |
Данные для 30 квартир:
Цена квартиры (ден. ед.)
|
Номер квартиры |
Номер варианта |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
1 |
78 |
83 |
89 |
94 |
100 |
105 |
111 |
117 |
122 |
128 |
|
2 |
50 |
53 |
57 |
60 |
64 |
67 |
71 |
75 |
78 |
82 |
|
3 |
108 |
116 |
123 |
131 |
139 |
146 |
154 |
162 |
169 |
177 |
|
4 |
53 |
57 |
61 |
65 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
87 |
|
5 |
76 |
82 |
87 |
93 |
98 |
104 |
109 |
114 |
120 |
125 |
|
6 |
85 |
92 |
98 |
104 |
110 |
116 |
122 |
128 |
134 |
140 |
|
7 |
48 |
51 |
54 |
58 |
61 |
65 |
68 |
71 |
75 |
78 |
|
8 |
56 |
60 |
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
88 |
92 |
|
9 |
84 |
90 |
96 |
102 |
108 |
114 |
120 |
126 |
132 |
138 |
|
10 |
90 |
96 |
102 |
109 |
115 |
122 |
128 |
134 |
141 |
147 |
|
11 |
46 |
49 |
52 |
55 |
59 |
62 |
65 |
68 |
72 |
75 |
|
12 |
60 |
64 |
68 |
72 |
77 |
81 |
85 |
89 |
94 |
98 |
|
13 |
95 |
101 |
108 |
115 |
122 |
128 |
135 |
142 |
149 |
155 |
|
14 |
77 |
83 |
88 |
94 |
99 |
105 |
110 |
116 |
121 |
127 |
|
15 |
57 |
62 |
66 |
70 |
74 |
78 |
82 |
86 |
90 |
94 |
|
16 |
75 |
80 |
86 |
91 |
96 |
102 |
107 |
112 |
118 |
123 |
|
17 |
101 |
108 |
115 |
122 |
130 |
137 |
144 |
151 |
158 |
166 |
|
18 |
78 |
84 |
90 |
95 |
101 |
106 |
112 |
118 |
123 |
129 |
|
19 |
113 |
122 |
130 |
138 |
146 |
154 |
162 |
170 |
178 |
186 |
|
20 |
51 |
55 |
58 |
62 |
66 |
69 |
73 |
77 |
80 |
84 |
|
21 |
60 |
65 |
69 |
73 |
77 |
82 |
86 |
90 |
95 |
99 |
|
22 |
69 |
74 |
78 |
83 |
88 |
93 |
98 |
103 |
108 |
113 |
|
23 |
104 |
111 |
118 |
126 |
133 |
141 |
148 |
155 |
163 |
170 |
|
24 |
107 |
115 |
122 |
130 |
138 |
145 |
153 |
161 |
168 |
176 |
|
24 |
70 |
75 |
80 |
85 |
90 |
95 |
100 |
105 |
110 |
115 |
|
26 |
85 |
91 |
97 |
103 |
109 |
115 |
121 |
127 |
133 |
139 |
|
27 |
81 |
87 |
93 |
99 |
104 |
110 |
116 |
122 |
128 |
133 |
|
28 |
52 |
56 |
59 |
63 |
67 |
70 |
74 |
78 |
81 |
85 |
|
29 |
56 |
60 |
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
88 |
92 |
|
30 |
84 |
90 |
96 |
102 |
108 |
114 |
120 |
126 |
132 |
138 |
|
Номер квартиры |
Общая площадь (кв.м.) |
Жилая площадь (кв.м.) |
Число комнат |
Площадь кухни (кв.м.) |
Наличие балкона (1 – да, 0 – нет) |
|
1 |
55 |
38 |
3 |
12 |
1 |
|
2 |
30 |
17 |
1 |
8 |
1 |
|
3 |
78 |
59 |
4 |
11 |
1 |
|
4 |
37 |
18 |
1 |
10 |
1 |
|
5 |
50 |
39 |
3 |
7 |
1 |
|
6 |
62 |
49 |
3 |
8 |
1 |
|
7 |
35 |
21 |
1 |
10 |
0 |
|
8 |
44 |
28 |
2 |
11 |
0 |
|
9 |
67 |
50 |
3 |
8 |
0 |
|
10 |
60 |
42 |
3 |
11 |
1 |
|
11 |
33 |
17 |
1 |
8 |
1 |
|
12 |
42 |
21 |
1 |
11 |
0 |
|
13 |
65 |
52 |
3 |
8 |
1 |
|
14 |
54 |
38 |
3 |
10 |
1 |
|
15 |
42 |
22 |
1 |
11 |
0 |
|
16 |
55 |
39 |
3 |
8 |
1 |
|
17 |
70 |
54 |
4 |
10 |
1 |
|
18 |
60 |
43 |
3 |
7 |
1 |
|
19 |
78 |
60 |
4 |
11 |
1 |
|
20 |
33 |
19 |
1 |
10 |
1 |
|
21 |
36 |
16 |
1 |
12 |
1 |
|
22 |
52 |
34 |
2 |
8 |
1 |
|
23 |
73 |
55 |
4 |
9 |
1 |
|
24 |
72 |
56 |
4 |
8 |
1 |
|
24 |
53 |
40 |
3 |
7 |
0 |
|
26 |
66 |
49 |
3 |
9 |
0 |
|
27 |
63 |
42 |
3 |
11 |
0 |
|
28 |
39 |
18 |
1 |
12 |
0 |
|
29 |
47 |
29 |
2 |
10 |
0 |
|
30 |
63 |
41 |
3 |
12 |
1 |
Задача 8 (Тема 11)
Значения спроса на продукцию предприятия за каждый месяц в течение двух последних лет приведены в таблице (см. ниже). Используя табличные данные, требуется:
найти оптимальные весовые коэффициенты для метода взвешенного скользящего среднего с длиной сглаживания, равного трем (используя среднеквадратическое отклонение в качестве критерия качества модели); используя найденные весовые коэффициенты построить прогноз спроса для первых двух месяцев следующего года методом взвешенного скользящего среднего; найти оптимальный параметр сглаживания для метода экспоненциального сглаживания (используя среднеквадратическое отклонение в качестве критерия качества модели); используя найденный параметр сглаживания построить прогноз спроса для первых двух месяцев следующего года методом экспоненциального сглаживания; сравнить точность методов взвешенного скользящего среднего и экспоненциального сглаживания с помощью среднеквадратического отклонения и средней ошибки аппроксимации.
|
Месяцы |
Спрос (шт.) |
|||||||||
|
Номер варианта |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
1 |
528 |
429 |
594 |
396 |
792 |
561 |
726 |
858 |
363 |
891 |
|
2 |
608 |
494 |
684 |
456 |
912 |
646 |
836 |
988 |
418 |
1026 |
|
3 |
496 |
403 |
558 |
372 |
744 |
527 |
682 |
806 |
341 |
837 |
|
4 |
560 |
455 |
630 |
420 |
840 |
595 |
770 |
910 |
385 |
945 |
|
5 |
480 |
390 |
540 |
360 |
720 |
510 |
660 |
780 |
330 |
810 |
|
6 |
576 |
468 |
648 |
432 |
864 |
612 |
792 |
936 |
396 |
972 |
|
7 |
544 |
442 |
612 |
408 |
816 |
578 |
748 |
884 |
374 |
918 |
|
8 |
624 |
507 |
702 |
468 |
936 |
663 |
858 |
1014 |
429 |
1053 |
|
9 |
624 |
507 |
702 |
468 |
936 |
663 |
858 |
1014 |
429 |
1053 |
|
10 |
576 |
468 |
648 |
432 |
864 |
612 |
792 |
936 |
396 |
972 |
|
11 |
640 |
520 |
720 |
480 |
960 |
680 |
880 |
1040 |
440 |
1080 |
|
12 |
608 |
494 |
684 |
456 |
912 |
646 |
836 |
988 |
418 |
1026 |
|
13 |
592 |
481 |
666 |
444 |
888 |
629 |
814 |
962 |
407 |
999 |
|
14 |
624 |
507 |
702 |
468 |
936 |
663 |
858 |
1014 |
429 |
1053 |
|
15 |
512 |
416 |
576 |
384 |
768 |
544 |
704 |
832 |
352 |
864 |
|
16 |
608 |
494 |
684 |
456 |
912 |
646 |
836 |
988 |
418 |
1026 |
|
17 |
592 |
481 |
666 |
444 |
888 |
629 |
814 |
962 |
407 |
999 |
|
18 |
624 |
507 |
702 |
468 |
936 |
663 |
858 |
1014 |
429 |
1053 |
|
19 |
592 |
481 |
666 |
444 |
888 |
629 |
814 |
962 |
407 |
999 |
|
20 |
560 |
455 |
630 |
420 |
840 |
595 |
770 |
910 |
385 |
945 |
|
21 |
592 |
481 |
666 |
444 |
888 |
629 |
814 |
962 |
407 |
999 |
|
22 |
544 |
442 |
612 |
408 |
816 |
578 |
748 |
884 |
374 |
918 |
|
23 |
560 |
455 |
630 |
420 |
840 |
595 |
770 |
910 |
385 |
945 |
|
24 |
576 |
468 |
648 |
432 |
864 |
612 |
792 |
936 |
396 |
972 |
Задача 9 (Тема 11)
В нижеследующей таблице представлены поквартальные данные о прибыли предприятия и ценах на сырье за 5 последних лет.
Требуется:
построить регрессионную модель, описывающую зависимость прибыли фирмы от цен на сырье с учетом линейного тренда и сезонности (считая, что сезоны соответствуют кварталам), и найти выборочные коэффициенты регрессии (методом наименьших квадратов); построить график остатков регрессии для построенной модели и визуально оценить наличие (либо отсутствие) тренда и сезонности; проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков регрессии (для построенной модели) с помощью статистики Дарбина-Уотсона при уровне значимости ; построить прогноз прибыли предприятия (с помощью построенной модели) для первого квартала следующего года для случая, когда цена на сырье равна 7 ден. ед.
|
Номер квартала |
Прибыль предприятия (ден. ед.) |
|||||||||
|
Номер варианта |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
1 |
8216 |
16432 |
20540 |
24648 |
28756 |
32864 |
36972 |
45188 |
49296 |
53404 |
|
2 |
14161 |
28322 |
35403 |
42483 |
49564 |
56644 |
63725 |
77886 |
84966 |
92047 |
|
3 |
8549 |
17098 |
21373 |
25647 |
29922 |
34196 |
38471 |
47020 |
51294 |
55569 |
|
4 |
7650 |
15300 |
19125 |
22950 |
26775 |
30600 |
34425 |
42075 |
45900 |
49725 |
|
5 |
12210 |
24420 |
30525 |
36630 |
42735 |
48840 |
54945 |
67155 |
73260 |
79365 |
|
6 |
15150 |
30300 |
37875 |
45450 |
53025 |
60600 |
68175 |
83325 |
90900 |
98475 |
|
7 |
14472 |
28944 |
36180 |
43416 |
50652 |
57888 |
65124 |
79596 |
86832 |
94068 |
|
8 |
11495 |
22990 |
28738 |
34485 |
40233 |
45980 |
51728 |
63223 |
68970 |
74718 |
|
9 |
12972 |
25944 |
32430 |
38916 |
45402 |
51888 |
58374 |
71346 |
77832 |
84318 |
|
10 |
19075 |
38150 |
47688 |
57225 |
66763 |
76300 |
85838 |
104913 |
114450 |
123988 |
|
11 |
17325 |
34650 |
43313 |
51975 |
60638 |
69300 |
77963 |
95288 |
103950 |
112613 |
|
12 |
14453 |
28906 |
36133 |
43359 |
50586 |
57812 |
65039 |
79492 |
86718 |
93945 |
|
13 |
14344 |
28688 |
35860 |
43032 |
50204 |
57376 |
64548 |
78892 |
86064 |
93236 |
|
14 |
22200 |
44400 |
55500 |
66600 |
77700 |
88800 |
99900 |
122100 |
133200 |
144300 |
|
15 |
18139 |
36278 |
45348 |
54417 |
63487 |
72556 |
81626 |
99765 |
108834 |
117904 |
|
16 |
15300 |
30600 |
38250 |
45900 |
53550 |
61200 |
68850 |
84150 |
91800 |
99450 |
|
17 |
17763 |
35526 |
44408 |
53289 |
62171 |
71052 |
79934 |
97697 |
106578 |
115460 |
|
18 |
18954 |
37908 |
47385 |
56862 |
66339 |
75816 |
85293 |
104247 |
113724 |
123201 |
|
19 |
21930 |
43860 |
54825 |
65790 |
76755 |
87720 |
98685 |
120615 |
131580 |
142545 |
|
20 |
17220 |
34440 |
43050 |
51660 |
60270 |
68880 |
77490 |
94710 |
103320 |
111930 |
Цены на сырьё (ден. ед.)
|
|
Номер квартала |
|||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
Цена |
6 |
4 |
4 |
6 |
5 |
6 |
6 |
4 |
6 |
4 |
4 |
5 |
4 |
4 |
4 |
4 |
6 |
4 |
6 |
6 |
Алгоритм пошаговой регрессии основан на использовании Р-значений для коэффициентов регрессии
Указанные Р-значения находятся в третьей таблице «Вывода итогов». Среди Р-значений для коэффициентов следует найти наибольшее.
(При этом Рзначение для константы a (т.е. для Y-пересечения в таблице Excel) не используется.). Если найденное наибольшее Р-значение не превосходит уровня значимости γ, то оптимальный набор объясняющих факторов совпадает с исходным набором, и на этом алгоритм пошаговой регрессии заканчивается. В противном случае из модели исключается (только один) объясняющий фактор, соответствующий наибольшему Р-значению. Для нового (уменьшенного на один фактор) набора объясняющих факторов опять нужно использовать модуль «Регрессия» в Excel и найти новые P-значения. (При этом в таблице модуля «Регрессия» нужно указать новый диапазон X. В случае, когда столбец данных для исключенного фактора находится между двумя другими столбцами с данными для объясняющих факторов, следует построить в Excel новую уменьшенную таблицу, в которой фигурируют только оставшиеся столбцы. Эту уменьшенную таблицу и нужно использовать в модуле «Регрессия» в качестве диапазона X.) Среди новых P-значений опять следует найти наибольшее. Если найденное наибольшее Р-значение не превосходит уровня значимости γ, то оптимальный набор объясняющих факторов совпадает с последним используемым набором факторов, и на этом алгоритм пошаговой регрессии заканчивается. В противном случае из модели исключается (только один) объясняющий фактор, соответствующий наибольшему Р-значению и т.д. Таким образом, алгоритм пошаговой регрессии заключается в последовательном выполнении указанных действий то тех пор, пока Р-значения всех коэффициентов регрессии не станут меньше либо равными уровня значимости γ (либо пока в модели не останется ни одного объясняющего фактора).
Случайная величина имеет распределение Стьюдента со степенями свободы :
Статистики можно использовать для проверки гипотез.
Пусть .
В условиях нашего примера , и .
Список использованной литературы:
