Построить математическую модель следующей задачи о диете.
Доступны следующие продукты: пирожные, 30с. за шт., котлеты, 40с. за шт., кола, 80с. за бут., биг-маки, 70с. за шт.
В единице продукта содержится следующее количество приведенных ниже веществ.
|
|
калории |
сахар |
жир |
витамины |
|
пирожное |
300 |
5 |
4 |
0 |
|
котлета |
100 |
5 |
2 |
1 |
|
кола |
250 |
3 |
2 |
1 |
|
биг-мак |
200 |
3 |
7 |
0 |
Заданы ограничения на потребление веществ в день:
Сумма калорий 500 и Сумма витаминов Сумма сахара 10 и . Сумма жира 8 и .
Требуется определить набор из указанных продуктов на день минимальной стоимости при выполнении приведенных ограничений.
Найти множество Парето следующей двухкритериальной задачи.
при условии x{1, 2, 3,4, 5, 6, 7}.
Значения функций заданы таблицей.
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
F1(x) |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
4 |
3 |
|
F2(x) |
6 |
6 |
6 |
5 |
5 |
5 |
3 |
Геометрически решить задачу линейного программирования:
Перейти к задаче с ограничениями :
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом
Решить транспортную задачу. Транспортная таблица имеет вид:
Таблица 6.1
|
Ai / Bj |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
Запасы ai |
|
A1 |
5 |
10 |
8 |
4 |
110 |
|
A2 |
7 |
5 |
11 |
6 |
75 |
|
A3 |
6 |
15 |
13 |
10 |
95 |
|
Заявки bj |
60 |
60 |
60 |
100 |
|
Найти эйлеров цикл в графе.
Найти кратчайшие пути из вершины 1 во все остальные вершины графа. Граф приведен в задаче 7. Дуги и их веса заданы в таблице.
|
Дуги |
1,2 |
1,3 |
2,4 |
2,7 |
2,5 |
3,5 |
3,8 |
|
Веса |
3 |
1 |
4 |
2 |
5 |
3 |
2 |
|
Дуги |
3,6 |
4,7 |
5,7 |
5,8 |
6,8 |
7,9 |
8,9 |
|
Веса |
4 |
5 |
1 |
3 |
2 |
4 |
2 |
Решить задачу коммивояжера для 5 городов.
Матрица расстояний (стоимостей переезда) представлена в виде.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
1 |
2 |
5 |
2 |
|
|
2 |
1 |
5 |
6 |
4 |
|
|
3 |
6 |
3 |
4 |
2 |
|
|
4 |
5 |
1 |
1 |
5 |
|
|
5 |
4 |
3 |
4 |
2 |
Найти длину критического пути (длительность выполнения проекта) в сети, где дуги представляют собой работы проекта, начало и конец дуги - начало и конец работы, вес дуги - длительность работы.
Вычислить наиболее ранние и наиболее поздние моменты начала работ. Вершины s и t сопоставлены началу и завершению проекта соответственно.
Длительности выполнения работ (веса дуг) (2,7), (3,8), (8,5) равны 1, дуги (5,7) равна целой части от деления номера набора задач (N) на 15 (=), остальные равны 2.
Решить антагонистическую матричную игру.
Выигрыш 1 игрока в зависимости от выбранных стратегий игроков 1 и 2 задан следующей матрицей.
|
Ai \ Πj |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
5 |
10 |
12 |
7 |
13 |
|
2 |
4 |
3 |
7 |
11 |
2 |
Найти оптимальные смешанные стратегии и цену игры в антагонистической матричной игре 2 х n.
|
Игрок 1 \ Игрок 2 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
12 |
11 |
13 |
|
2 |
9 |
4 |
8 |
В елочной гирлянде лампочки 1,2,3 и 4 и лампочка 2 не работает. В эксперименте выбирается одна (любая) из лампочек. С помощью метода Монте-Карло определить приблизительную вероятность того, что выбранная лампочка будет неработающей. Использовать механизм случайного выбора типа "рулетка". Решить задачу при числе испытаний N=2, N=10, N=20. Описать процесс получения решения.
14. Решить с помощью динамического программирования:
при ограничениях
Построить расписание обслуживания n=10 требований m=2 последовательными приборами (система flow-shop), минимизирующее момент завершения обслуживания последнего требования Cmax = maxj{Cj}.
Требования готовы к обслуживанию в момент времени 0. Прерывания обслуживания любого требования запрещены.
Длительности обслуживания aj = pj1 и bj = pj2 заданы в таблице.
|
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
aj |
40 |
12 |
30 |
50 |
7 |
4 |
10 |
21 |
9 |
14 |
|
bj |
14 |
23 |
13 |
5 |
17 |
14 |
10 |
7 |
9 |
24 |
Задача о целочисленном рюкзаке
Имеется транспортное средство грузоподъемностью L. Требуется заполнить его грузом, состоящим из предметов различных типов, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.
Для этого введем соответствующие обозначения:
Wi – вес одного предмета i-го типа;
Pi – стоимость одного предмета i-го типа;
xi – число предметов i-го типа, загружаемых на имеющееся транспортное средство.
Необходимо подобрать груз максимальной ценности с учетом грузоподъемности транспортного средства L.
Математически формализовать данную экстремальную задачу можно следующим образом:
– стоимость груза, (1)
при ограничениях:
(предметы груза неделимы).
Решение задачи разбивается на n этапов, на каждом их которых определяется максимальная стоимость груза, состоящего из предметов первого типа (первый этап), первого и второго типов (второй этап)
и т.д.
Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением или критерием оптимальности Беллмана:
(2)
где fn(L) – максимальная стоимость груза, состоящего из предметов n-типа;
– стоимость взятых предметов n-го типа;
– максимальная стоимость груза, состоящего из предметов (n-1)-типа с общим весом не более
– наибольшее целое число, не превосходящее
Будем считать f0(L) = 0 для любого L.
Последовательно найдя значение функции f1(L), f2(L), ..., fn(L), можно получить полное решение сформулированной задачи.
I этап. Условная оптимизация.
f1(L) = max(1x1); 0 < x1 < [7/2]; x1 = 0,1,2,3.
f1(0) = max[0*1] = 0
f1(1) = max[0*1] = 0
f1(2) = max[0*1, 1*1] = 1
f1(3) = max[0*1, 1*1] = 1
f1(4) = max[0*1, 1*1, 2*1] = 2
f1(5) = max[0*1, 1*1, 2*1] = 2
f1(6) = max[0*1, 1*1, 2*1, 3*1] = 3
f1(7) = max[0*1, 1*1, 2*1, 3*1] = 3.....
Список использованной литературы:
Балашевич В.А. Основы математического программирования. - Мн.: Выш. шк., 2002. Карасев А.Н., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы в экономике. - М., 1996. Лященко И.Н. Линейное и нелинейное программирования: И.Н.Лященко, Е.А.Карагодова, Н.В.Черникова. - К.: Высшая школа, 1992. - 372 с. Общий курс высшей математики для экономистов / под ред В.И. Ермакова.- М.: ИНФА - М., 1997. Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для ВУЗов. - М.: Юнити, 2002.
