Задача 1
Решить задачу потребительского выбора при функции полезности Стоуна.
Найти функции спроса при заданных ценах p и доходе M.
Определить предельные полезности благ и дохода. Для данной модели изобразить допустимое множество и кривые безразличия (n = 2).
Определить эластичности благ по цене и по доходу.
Выяснить, зависит ли в данной модели сумма денег, расходуемая на благо 1 от цены блага 2.
Используя уравнение Слуцкого, рассчитайте частные производные блага по цене при компенсации дохода.
Какой должна быть компенсация дохода при увеличении цены блага 1 на Dp1 ?
Задача 2
Администрации театра нужно решить, сколько заказать программок для представлений. Стоимость заказа 200 ф.ст. плюс 30 пенсов за штуку. Программки продаются по 60 пенсов за штуку. Из прошлого опыта известна посещаемость театра:
Ожидается, что 40% зрителей купят программки.
Определите, сколько программок должна заказать администрация театра.
Задача 3 об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет.
Планируется деятельность производства на n лет. Начальные ресурсы: s0 . Средства x , вложенные в отрасль 1 в начале года, дают в конце года прибыль f1(x) и возвращаются в размере j1(x)< x. Для отрасли 2 аналогично - f2(x) и j2 (x)< x. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между этими отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.
Требуется распределить имеющиеся средства s0 между двумя отраслями производства так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за n лет была максимальной, если даны функции доходов f1(x) f2(x) для каждой отрасли, функции возврата j1(x) и j2 (x). По истечении года только все возвращенные средства перераспределяются, доход в производство не вкладывается
s0= 40000 ед.; n= 4; f1(x)=0.4 x; f2(x)=0.3 x;j1(x)=0.5 x;j2 (x)=0.8 x
Задача 4
Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в скобках указана пропускная способность дуги), если начальный поток wo = 7 (рис. 4.1).
Задача 5
. Рассмотрим состояния банка s1, s2, s3, s4, характеризующиеся соответственно процентными ставками 3%, 4%, 5%, 6%, которые устанавливаются в начале каждого месяца и фиксированы на всем его протяжении. Наблюдение за работой банка в предшествующий период показало, что переходные вероятности состояний в течение квартала изменяются пренебрежимо мало и, следовательно, их можно считать постоянными.
Определить вероятности состояния банка в конце квартала, если в конце предшествующего квартала процентная ставка составляла 5%, а размеченный граф состояния банка имеет следующий вид
Задача 6
На телефонную линию филиала банка производительностью 0,8 вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью 0,9 вызовов/мин.
Определить предельные значения относительной и абсолютной пропускных способностей и вероятности отказа телефонной линии.
Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.
Так как множество состояний, в которых может находиться система , конечно (три состояния), то протекающий в системе S случайный процесс — дискретный.
С определенной степенью погрешности можно предположить, что вероятность пребывания банка в одном из своих состояний в будущем зависит в существенном только от состояния в настоящем и не зависит от его состояний в прошлом. А потому рассматриваемый случайный процесс можно считать марковским.
В силу условий примера банк может переходить из состояния в состояние только в заранее определенные моменты времени: tk — начало k-гo квартала, k = 1,2,3,4. Следовательно, случайный процесс в системе S является процессом с дискретным временем.
Так как зависимостью переходных вероятностей от времени можно пренебречь, то рассматриваемый процесс будет однородным.
Таким образом, в системе S протекает однородный марковский дискретный случайный процесс с дискретным временем, т.е. имеем однородную марковскую цепь.
По размеченному графу на рис. 5.1 выпишем значения переходных вероятностей:
р12=0,2
Тогда по формуле –
при i =l, p11 = l - р12 = l - 0,2 = 0,8.
Аналогично,
р21=0,6; р23=0,3 и, следовательно,
р22= 1- (0,6+0,3) = 0,1
р31=0,1; р32=0,4; р34 =0,3 и, следовательно,
р33 = 1- (0,1+0,4+0,3) = 0,2
р42 =0,3, р43 =0,4 и, следовательно,
р44 = 1- (0,3+0,4) = 0,3
Составим матрицу переходных вероятностей:
