Индивидуальное задание 1
Модели поведения потребителей и производителей как модели нелинейного программирования
Задача 1.20
Решить задачу потребительского выбора при функции полезности Стоуна.
Найти функции спроса при заданных ценах p и доходе M.
Определить предельные полезности благ и дохода. Для данной модели изобразить допустимое множество и кривые безразличия (n = 2).
Определить эластичности благ по цене и по доходу.
Выяснить, зависит ли в данной модели сумма денег, расходуемая на благо 1 от цены блага 2.
Используя уравнение Слуцкого, рассчитайте частные производные блага по цене при компенсации дохода.
Какой должна быть компенсация дохода при увеличении цены блага 1 на Dp1 ?
|
№ |
a1 |
a2 |
b1 |
b2 |
p1 |
p2 |
M |
Dp1 |
||
|
1.20 |
2 |
3 |
4 |
1 |
0,5 |
0,5 |
10 |
2 |
70 |
5 |
Индивидуальное задание 2
Правила и схемы принятия решений в условиях неопределенности (теория игр)
|
№ вар |
Исходные данные |
||
|
20 |
2.3 |
P= |
0,4 0,4 0,2 |
Для отопления дома требуется 100 кг угля в случае мягкой зимы (j = 1), 150 кг – в случае холодной зимы (j = 2) и 200 кг при суровой зиме (j = 3). Соответственно у хозяина дома есть стратегии купить осенью 100, 150 или 200 кг угля по цене 10 р. за килограмм, а потом в случае необходимости докупать требуемое количество, но при холодной зиме цена поднимается до 15 р., а при суровой – до 20 р. за килограмм. Свести данную экономическую ситуацию к матричной игре в условиях неопределенности с учетом вероятностей мягкой, холодной и суровой зимы в размере 0,3; 0,5; 0,2 соответственно.
Указать возможные шаги хозяина и его выигрыш в зависимости от зимней температуры. В случае, если у хозяина дома, имеется остаток дров – он может продать их по цене 12 р. за кг.
Индивидуальное задание 3. Динамическое программирование
Планируется деятельность n промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: s0.
Размеры вложений в каждое предприятие кратны Dx .
Средства x , выделенные предприятию i приносят в конце года прибыль fi (x), i = 1,2. … n.
Прибыль f i (x) не зависит от вложения средств в другие предприятия. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних и тех же условных единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей от каждого предприятия.
Найти оптимальное распределение средств между предприятиями при условии, что прибыль f(x), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств x, вложения кратны Dx, а функция f(x) задана таблично.
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
f1(x) |
5 |
9 |
12 |
14 |
15 |
18 |
20 |
24 |
27 |
|
f2(x) |
7 |
9 |
11 |
13 |
16 |
19 |
21 |
22 |
25 |
|
f3(x) |
6 |
10 |
13 |
15 |
16 |
18 |
21 |
22 |
25 |
|
f4(x) |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
15 |
20 |
22 |
24 |
|
номер варианта |
Условия задания |
|
20 |
Решить задачу 1 при n= 3 |
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
f1(x) |
5 |
9 |
12 |
14 |
15 |
18 |
20 |
24 |
27 |
|
f2(x) |
7 |
9 |
11 |
13 |
16 |
19 |
21 |
22 |
25 |
|
f3(x) |
6 |
10 |
13 |
15 |
16 |
18 |
21 |
22 |
25 |
Индивидуальное задание 4
Марковские цепи
4.20. Сформировать матрицу переходных вероятностей цепи, проверить цепь на регулярность и найти финальные вероятности состояний.
Рис. 4.1
Индивидуальное задание 5
Модели СМО
5.18. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью l=100 чел./час. Средняя продолжительность обслуживания контролером–кассиром одного покупателя = 1,5 мин. Определить:
Минимальное количество контролеров–кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = nmin. Вероятность того, что в очереди будет не более 4 покупателей.
Индивидуальное задание 6
Сети. Потоки в сетях
4.20. Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в скобках указана пропускная способность дуги), если начальный поток wo = 9 (рис. 6.1).
Рис. 6.1Р
Задача построения максимального потока между заданной парой вершин sN и tN заключается в том, чтобы из множества путей, соединяющих указанные вершины, найти такие, по которым можно пропустить максимальное количество единиц потока в единицу времени.
При этом должны соблюдаться следующие ограничения:
1) поток по каждой дуге не должен превышать ее пропускной способности;
2) поток из источника s равен потоку, приходящему в сток t;
3) для промежуточных вершин x (x≠s, t) количество единиц потока, попавшего в этот узел, должно в точности равняться количеству единиц потока, вышедшего из этого узла.
Решим исходную задачу с использовагнием надстройки «Поиск решения» пакета EXCEL.
Разместим исходные данные на рабочем листе так, как показано на рис. 6.2.
В столбце А располагаются начальные вершины дуг, а в строке 1 ─ конечные вершины. На пересечении i-й строки и j-го столбца находится пропускная способность соответствующей дуги. Пустая клетка соответствует нулевой пропускной способности (соответствующая дуга отсутствует).
Рис. 6.2
Матрица потоков устроена абсолютно идентично, только вместо пропускных способностей в ней будут располагаться потоки для соответствующих дуг.
Выделим для матрицы потоков диапазон В14:I21.
В ячейку J14 введем формулу (2) и распространим ее на диапазон J15:J21.
В ячейку В22 введем формулу (3) и распространим ее на диапазон C22:I22.
В диапазоне J14:J21 расположены суммарные потоки, выходящие из соответствующих вершин.
В диапазоне B22:I22 расположены суммарные потоки, входящие в соответствующие вершины.
=СУММ(B14:I14) (2)
=СУММ(B14:B21) (3)
Рис. 6.3
Установим курсор в ячейку M14 и введем формулу (4). Эта формула определяет, сколько единиц потока вышло из вершины 1.
В ячейку N14 введем формулу (5). Она определяет, сколько единиц потока вошло в вершину 1.
Распространим формулы (4) ─ (5) на диапазон M15:N21.
=ВПР(L14;$A$14:$J$22;10;ЛОЖЬ) (4)
=ГПР(L14;$B$13:$I$22;10;ЛОЖЬ) (5)...
Список использованной литературы:
Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М., 1993. Алоев Т.Б., Гурфова Р.В., Асланова Е.М. Практикум по экономико-математическим методам и моделям. – Нальчик, 2003. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании. – М.: Экономика, 1987. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. – М., 1978. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.В. Математическое программирование. – М ., 1998. Пчельник В.К., Ревчук И.Н.. Исследование операций. Методические указания. – Гродно, 2010, 104 с.
