Задание 1
Построить математическую модель следующей задачи о банковских кредитах. Банк собирается выдать кредитов на сумму, не превышающую 12 млн. $. Типы кредитов и информация о доходах по ним и рисках приведены в таблице.
|
Тип кредита |
Доля дохода |
Доля невозврата |
|
Личный |
0.140 |
0.10 |
|
Покупка авто |
0.130 |
0.07 |
|
Жилье |
0.120 |
0.03 |
|
С/х |
0.125 |
0.05 |
|
Бизнес |
0.100 |
0.02 |
Банк обязан разместить > 40% всех кредитов на нужды с/х и бизнеса, и > 50% от кредитов на личные нужды, авто и жилье - на жилье.
Общая доля невозврата по всем кредитам не должна превосходить 0.08.
Необходимо определить суммы кредитов по указанным видам так, чтобы максимизировать доход.
Задание 2
Найти множество Парето следующей двухкритериальной задачи.
при условии x{1, 2, 3,4, 5, 6, 7}.
Значения функций заданы таблицей.
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
F1(x) |
-2 |
-4 |
-6 |
-4 |
-6 |
-8 |
-6 |
|
F2(x) |
12 |
12 |
12 |
10 |
10 |
10 |
6 |
Задание 3
Геометрически решить задачу линейного программирования:
Задание 4
Перейти к двойственной и решить задачу линейного программирования:
Задание 5
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Задание 6
Решить транспортную задачу. Транспортная таблица имеет вид:
|
Ai / Bj |
B1 |
B2 |
B3 |
Запасы ai |
|
A1 |
3 |
2 |
4 |
100 |
|
A2 |
9 |
0 |
1 |
150 |
|
A3 |
2 |
7 |
5 |
80 |
|
Заявки bj |
80 |
140 |
110 |
|
Задание 7
Найти эйлеров цикл в графе. Вершина 5 отсутствует.
Задание 8
Найти кратчайшие пути из вершины 1 во все остальные вершины графа. Граф приведен в задаче 7. Дуги и их веса заданы в таблице.
Вес дуги (2,8) равен сумме дуг (2,5) и (5,8), а вес дуги (3,7) равен сумме весов дуг (3,5) и (5,7).
|
Дуги |
1,2 |
1,3 |
2,4 |
2,7 |
2,5 |
3,5 |
3,8 |
|
Веса |
3 |
1 |
4 |
2 |
5 |
3 |
2 |
|
Дуги |
3,6 |
4,7 |
5,7 |
5,8 |
6,8 |
7,9 |
8,9 |
|
Веса |
4 |
5 |
1 |
3 |
2 |
4 |
2 |
Задание 9
Решить задачу коммивояжера для 5 городов. Матрица расстояний (стоимостей переезда) представлена в виде.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
30 |
1 |
4 |
|
|
2 |
1 |
5 |
6 |
2 |
|
|
3 |
6 |
12 |
8 |
12 |
|
|
4 |
5 |
6 |
10 |
7 |
|
|
5 |
14 |
13 |
14 |
7 |
Задание 10
Найти длину критического пути (длительность выполнения проекта) в сети, где дуги представляют собой работы проекта, начало и конец дуги - начало и конец работы, вес дуги - длительность работы.
Вычислить наиболее ранние и наиболее поздние моменты начала работ. Вершины s и t сопоставлены началу и завершению проекта соответственно.
Длительности выполнения работ (веса дуг) (2,7), (3,8), (8,5) равны 1, дуги (5,7) равна целой части от деления номера набора задач (N) на 15 (=), остальные равны 2.
Задание 11
Решить антагонистическую матричную игру.
Выигрыш 1 игрока в зависимости от выбранных стратегий игроков 1 и 2 задан следующей матрицей.
|
Ai \ Πj |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
5 |
10 |
12 |
7 |
13 |
|
2 |
4 |
3 |
7 |
11 |
2 |
Задание 12
Найти оптимальные смешанные стратегии и цену игры в антагонистической матричной игре 2 х n.
|
Игрок 1 \ Игрок 2 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
12 |
11 |
13 |
|
2 |
9 |
4 |
8 |
Задание 13
В эксперименте 8 человек независимо друг от друга будут случайным образом выбирать одну из клеток шахматной доски 8х8. При этом выбранная клетка и граничащие с ней клетки (граничащих клеток не более 8), закрашиваются.
С помощью метода Монте-Карло определить предполагаемое значение количества закрашенных клеток.
Использовать механизм случайного выбора типа "рулетка".
Число испытаний N = 10.
Описать процесс получения решения.
Задание 14
Решить с помощью динамического программирования:
при ограничениях
Задание 15
Построить расписание обслуживания n=10 требований m=2 последовательными приборами (система flow-shop), минимизирующее момент завершения обслуживания последнего требования Cmax = maxj{Cj}.
Требования готовы к обслуживанию в момент времени 0. Прерывания обслуживания любого требования запрещены.
Длительности обслуживания aj = pj1 и bj = pj2 заданы в таблице.
|
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
aj |
40 |
12 |
30 |
50 |
7 |
4 |
10 |
21 |
9 |
14 |
|
bj |
14 |
23 |
13 |
5 |
17 |
14 |
10 |
7 |
9 |
24 |
Задача о целочисленном рюкзаке
Имеется транспортное средство грузоподъемностью L. Требуется заполнить его грузом, состоящим из предметов различных типов, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.
Для этого введем соответствующие обозначения:
Wi – вес одного предмета i-го типа;
Pi – стоимость одного предмета i-го типа;
xi – число предметов i-го типа, загружаемых на имеющееся транспортное средство.
Необходимо подобрать груз максимальной ценности с учетом грузоподъемности транспортного средства L.
Математически формализовать данную экстремальную задачу можно следующим образом:
– стоимость груза, (1)
при ограничениях:
(предметы груза неделимы).
Решение задачи разбивается на n этапов, на каждом их которых определяется максимальная стоимость груза, состоящего из предметов первого типа (первый этап), первого и второго типов (второй этап)
и т.д.
Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением или критерием оптимальности Беллмана: ....
Список использованной литературы:
Костевич Л.С. Математическое программирование: Учеб. - практ. Пособие. – Мн.: БГЭУ, 2003. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – М: Вузовский учебник, 2007. Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии решения: Учебное пособие.- И.Л. Акулич, Е.И. Велесько и др. – Мн.: БГЭУ, 2003. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие / под ред. С.Ф. Миксюк, В.Н. Комкова.- Мн.: БГЭУ, 2006.
