Задача 1. Случайные события. Вероятность события
1.37. Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Найти вероятность того, что случайно набранный номер оканчивается на 444.
Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент.
Вероятности отказа элементов 1, 2, 3 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3.
Найти вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход.
Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
3.37. В двух коробках содержатся резисторы: в 1-й ‑ 5 резисторов номиналом 1 Ом и мощностью рассеивания 1 Вт , 6 резисторов - 1 Ом , 2 Вт.
Во 2-ой: 4 резистора 2 Ом; 2 Вт; 4 резистора 1 Ом , 2 Вт.
Найти вероятность того, что наудачу вынутый резистор из произвольной коробки имеет номинал 1 Ом и мощность рассеивания 1 Вт.
Задача 4. Формула Бернулли
4.15. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения снега 12 октября в данном городе равна 1/3. Сколько лет должны проводиться метеонаблюдения, чтобы наивероятнейшее число снежных дней 12 октября в данном городе было равно 20.
Задача 5. Дискретная случайная величина
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1).
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Задача 6. Непрерывная случайная величина
Случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .
Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).
Задача 8. Двухмерные случайные величины
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :
Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. 9.1.
.
Пусть Y =a0 + a1 X1 + a2 X2 , где ai – не случайные коэффициенты, тогда
– математическое ожидание Y равно
mY = a0 + a1 m1 +a2 m2 (9.1)
где mi - математическое ожидание СВ Xi
– дисперсия Y равнa:
DY = a12 D1 + a22 D2 +2a1a2 K12 (9.2)
где Di
– дисперсия СВ Xi
K12 – корреляционный момент величин X1 и X2.
Если Y = a0 +
ai – не случайные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия величины Y равны –
mY = M [a0 + ] = a0 + (9.3)
DY = D [a0 + ] =
Вычислим математические ожидания U и V по формуле (9.1):
mU = 8 + 8m1 - 8m2 = 8+8*(-2)-8*(-4) = 8-16+32=24
mV= 2m2 -6m3 = 2*(-2)-6*0 = -4
Вычислим дисперсии DU и DV по формуле (9.2):
DU = 82 *D1 + (-8)2 *D2 +2*(-8)*8 K12 = 64*9 +64*4 -16*8*0 =832
DV = (2)2 D2 + (-6)2 D3 +2*(2)*(-6) K23 =4*4 + 36*25 -24*5=796
Рассчитаем корреляционный момент KUV по формуле:
KUV
Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V:
= 16*(-4)-48*0+16(2*4+0)-48*(-2*0-7,5)-16*(16+4)+48*(0+5)= 344
Таким образом,
KUV = 344 + 24*4 = 440
Величину RUV определим по формуле:
Список использованной литературы:
Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: –Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с. Волковец А.И., Гуринович А.Б., Аксенчик А.В. «Теория вероятностей и математическая статистика». Методические указания по типовому расчету для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР - Мн.: БГУИР, 2009.- 65с.
