Контрольная работа №1 . Теория вероятностей
Задача 1. Случайные события. Вероятность события
1.33. В урне 6 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают шар – отмечается его цвет и он возвращается в урну, после этого вынимают второй шар. Найти вероятность, что шары будут одинакового цвета.
Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
2.35. В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент.
Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5 q6=0,6 .
Найти вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход.
Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
3.4. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075 , а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наугад взятая с конвейера деталь нестандартна.
Задача 4. Формула Бернулли
4.22. Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,9. Произведено 12 бросков.
Найти вероятность того, что будет 11 или 12 попаданий.
Задача 5. Дискретная случайная величина
5.2. Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х.
Рассчитать и построить график функции распределения.
Таблица. 5.1
|
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
|
5.2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
Задача 6. Непрерывная случайная величина
6.36. В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Таблица 6.1
|
Вариант |
x,c) |
a |
b |
a |
b |
|
6.36 |
c x6 |
-2 |
2 |
-1 |
3 |
Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента
7.12. В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).
Таблица 7.1
|
Вариант |
a |
b |
|
|
7.12 |
-3 |
7 |
Задача 8. Двухмерные случайные величины
8.4. В задачах 8.1-8.40 (конкретные параметры приведены в табл. 8.1) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Рис. 8.1
Таблица 1.4
|
Вариант риант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
y1 |
y2 |
|
8.4 |
0 |
2 |
4 |
4 |
4 |
4 |
1 |
2 |
Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин
9.25. В задачах 9.1-9.40 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :
.
Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1
|
Вариант |
a0 |
a1 |
a2 |
b0 |
b1 |
b2 |
m1 |
m2 |
m3 |
D1 |
D2 |
D3 |
K12 |
K23 |
K13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.25 |
-4 |
-7 |
-3 |
7 |
9 |
1 |
2 |
-7 |
4 |
9 |
25 |
25 |
7,5 |
12,5 |
0 |
.
Пусть Y =a0 + a1 X1 + a2 X2 , где ai – не случайные коэффициенты, тогда
– математическое ожидание Y равно
mY = a0 + a1 m1 +a2 m2 (9.1)
где mi - математическое ожидание СВ Xi
– дисперсия Y равнa:
DY = a12 D1 + a22 D2 +2a1a2 K12 (9.2)
где Di
– дисперсия СВ Xi
K12 – корреляционный момент величин X1 и X2.
Если Y = a0 +
ai – не случайные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия величины Y равны –
mY = M [a0 + ] = a0 + (9.3)
DY = D [a0 + ] =
Вычислим математические ожидания U и V по формуле (9.1):
mU = -4 - 7m1 - 3m2 = -4-7*2-3*(-7) = -4-14+21= 3
mV = 7 + 9m2 + m3 = 7+9*(-7)+1*4 = 7-63+4 = -52
Вычислим дисперсии DU и DV по формуле (9.2):
DU =(-7)2 *D1 + (-3)2 *D2 +2*(-7)*(-3)*7.5 = 49*9+9*25+21*15 = 981
DV = (9)2 D2 + (1)2 D3 +2*(9)*(1) K23 = 81*25+1*25+18*12,5 = 2275
Рассчитаем корреляционный момент KUV по формуле:
KUV
Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V:...
Список использованной литературы:
-
