В задачах 1.1-1.5 подбрасываются две игральные кости.
1.1. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел равна восьми.
В задачах 2.1-2.30 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент.
Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p1=0,1; p2=0,2; p3=0,3; p4=0,4; p5=0,5.
Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Рис. 2.1
3.1. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе.
Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
4.1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1).
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Таблица 5.1
|
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
|
5.1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
6. Случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .
Таблица 6.1
|
Вариант |
x,c) |
a |
b |
a |
b |
|
6.1 |
сх |
1 |
2 |
0,5 |
1,5 |
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a, b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).
Таблица 7.1
|
Вариант |
a |
b |
|
|
7.1 |
-1 |
4 |
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Рис. 8.1
Таблица 8.1
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
y1 |
y2 |
|
8.1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
9. По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия c2 и критерия Колмогорова (a = 0,05).
4.12 4.65 7.20 3.74 5.26 3.09 4.77 4.77 0.40 3.90 4.78 4.10 5.98 4.20 4.69 5.34
3.91 2.81 3.73 3.51 3.22 5.16 4.79 4.04 3.85 2.52 6.03 5.28 3.79 4.59 5.05 5.00
2.80 4.31 6.42 4.78 2.77 3.94 5.93 6.75 7.31 3.81 3.48 3.47 5.61 5.85 5.09 4.62 4.60
10. По выборке двухмерной случайной величины:
- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);
- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;
- вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии ;
- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
( -3.56; 0.59) ( -2.97; 1.68) ( -0.66; -0.48) ( -2.23; -1.36) ( -4.49; -0.20)
( -7.70; 2.72) ( -1.41; 1.85) ( 2.45; 0.50) ( -2.36; -2.99) ( -0.83; -5.65)
( 0.24; -1.96) ( -3.07; 0.47) ( -4.34; 1.41) ( -3.38; -0.55) ( -0.91; 0.19)
( -0.36; 0.68) ( -2.54; 1.56) ( -1.40; 2.00) ( 0.37; -4.63) ( -4.21; 2.18)
( -1.37; 3.22) ( 1.08; 0.35) ( -0.64; -1.79) ( -2.90; -1.32) ( -1.66; 0.53)
Решение
Опишем через события работу элементов цепи. Пусть событие А1 состоит в том, что работает элемент 1, событие А2 – элемент 2.
По условию - вероятности противоположных событий, т.е. того, что элементы 1, 2 не работают и ток через них не идет, есть:
Тогда вероятности этих событий есть:
Анализируем заданную цепь и определяем участки цепи с последовательным и параллельным соединением.
На рис. 2.1 элементы 1 и 2 соединены последовательно.
Событие А – сигнал пройдет через цепь.
Цепь будет работать, если будут работать одновременно оба элемента Р1 , Р2.
Р(А) = 0,9*0,8 = 0,72
Список использованной литературы:
Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: –Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с. Волковец А.И., Гуринович А.Б., Аксенчик А.В. «Теория вероятностей и математическая статистика». Методические указания по типовому расчету для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР - Мн.: БГУИР, 2009.- 65 с.
