1.2.Наугад выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:
а) кратным 5;
б) будет принадлежать отрезку .
2.2. На бесконечную шахматную доску со стороной клетки 2а бросают случайно монету . Найти вероятность того что монета попадет целиком внутрь одной клетки.
3.2. На предприятии брак составляет в среднем 3% от общего выпуска изделий.
Известно, что изделия высшего сорта составляют 85% стандартной продукции.
Найти вероятность того, что выбранное наугад изделие из произведенных на этом предприятии высшего сорта.
4.2. Электрическая цепь на участке MN собрана по схеме, приведённой на
рисунке.
Все элементы цепи e1– e7 выходят из строя независимо друг от друга.
Надежность (вероятность безотказной работы в течение заданного промежутка времени) каждого из элементов равна 0,9.
Предполагая, что сбой в цепи может произойти только вследствие нарушения функционирования элементов e1 – e7, найти надежность участка цепи MN.
5.2. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок производит выстрел по мишени.
а) Какова вероятность того, что произойдёт попадание? (0,6833)
б) Известно, что стрелок попал в мишень. Какова вероятность того, что он принадлежит к первой группе стрелков, попадающих с вероятностью 0,8? (0,3252)
6.2. В семье четверо детей. Принимая равновероятными событиями рождение мальчика или девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье:
а) три (0,25); б) не менее трех (0,3125).
7.2. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец:
окажется равным 240; 2. заключено между 225 и 250.
8.2. Для определенной в условии задачи дискретной случайной величины.
Построить ряд распределения и столбцовую диаграмму. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить числовые характеристики: математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Производятся три броска мячом в корзину, при каждом из которых вероятность попадания равна 0,3.
Случайная величина X – число попаданий в серии из трех бросков. (M[X] = 0,9; D[X] = 0,63).
9.2. Закон распределения непрерывной случайной величины задан функцией плотности распределения вероятностей f(x). Требуется:
Определить значение параметра C. Построить график функции плотности распределения вероятностей. Найти функцию распределения данной случайной величины и построить ее график. Вычислить числовые характеристики данной случайной величины: математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, принадлежащее отрезку [-1; 1].
f(х) =
10.2. Среди семян риса 0,4% семян сорняков. Найти вероятность того, что при случайном отборе 5000 семян будут обнаружены 5 семян сорняков. (0,000055)
10.2. Производится измерение вала без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением, равным 1 мм.
Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 1,5 мм. (0,8664)
12.2.
Пусть задана двумерная случайная величина (X,Y) в виде корреляционной таблицы. Найти:
Значение в клетке «?».
2.Законы распределения составляющих X и У.
Значение интегральной функции распределения в точке (4,5; 14). Числовые характеристики случайных величин X и Y. Условные законы распределения составляющих. Условные математические ожидания случайных величин Х и Y. Корреляционный момент случайных величин X и Y. Коэффициент корреляции. Коэффициент регрессий Y нa X, коэффициент регрессий X на Y. Уравнения прямых регрессий Y на X и X на Y.
|
Х У |
8 |
10 |
12 |
15 |
|
2 |
0,15 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0,1 |
0,2 |
0,14 |
0,06 |
|
6 |
0 |
а |
0,05 |
0,25 |
13.2. На машиностроительном заводе было проведено выборочное обследование производительности рабочих в двух цехах. В результате получены следующие данные:
- по первому цеху:
|
Число обработанных деталей за день
|
от 100 до 120 |
от 120 до 140
|
от 140 до 160
|
от 160 до 180 |
от 180 до 200
|
|
Число рабочих
|
8 |
5 |
2 |
3 |
1 |
- по второму цеху:
|
Число обработанных деталей за день
|
от 100 до 120 |
от 120 до 140
|
от 140 до 160
|
от 160 до 180 |
от 180 до 200
|
|
Число рабочих
|
5 |
6 |
4 |
3 |
2 |
Требуется:
а) построить гистограмму относительных частот распределения рабочих в первом цеху;
б) найти среднее число обработанных деталей в каждом цеху и по двум цехам вместе;
в) дисперсию в каждом цеху (групповую дисперсию) и по двум цехам вместе (общую дисперсию);
г) внутригрупповую и межгрупповую дисперсии.
14.2. Из партии деталей отобрано пять деталей для исследования их массы. Получены следующие результаты в граммах: m1, m2, m3, m4, m5.
Найти:
а) эмпирическую функцию по данному распределению выборки;
б) выборочную среднюю результатов измерений;
в) выборочную и исправленную дисперсии результатов измерений;
г) оценить с надежностью математическое ожидание массы деталей в партии по выборочной средней при помощи доверительного интервала, если известно, что она имеет нормальное распределение.
|
Номер задачи |
Значения параметров |
|||||
|
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
m5 |
||
|
14.2 |
10,8 |
10,5 |
10,2 |
10,3 |
11,1 |
0,88 |
Р = 0,3 - вероятность поражения цели при одном броске.
q = 1 - 0,3 = 0.7- вероятность промаха при одном броске.
СВ х может принимать только четыре значения: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 =3.
Найдем вероятности этих значений.
Воспользуемся формулой Бернулли – Рn(m) =
Р(х1 = 0) =
Р(х2 = 1) =
Р(х3 = 2) =
Р(х4 =3) =
Искомый закон распределения случайной величины Х есть:
|
хi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
Рi |
0,343 |
0,441 |
0,189 |
0,027 |
Контроль вычислений: Рi = 1
М(х) = хi*Рi – математическое ожидание.
М(х) = 0*0,343 +1*0,441 +2*0,189 +3*0,027 = 0,9
Д(х) = М(2) – (М())2 - дисперсия.
М(х2) = 0*0,343 +1*0,441 +4*0,189 +9*0,027 = 1,44
Д(х) = 1,44 – (0,9)2 = 0,63
(х) = = - среднее квадратическое отклонение.
Как следует из ряда распределения, данная случайная величина имеет одну моду: xmod = 1 , т. е. наиболее вероятное число попаданий в серии из трех бросков, равно 1.
- функция распределения СВ Х.
Построим график функции распределения:...
Список использованной литературы:
Белько, И.В. Теория вероятностей и математическая статистика / И.В.Белько, Г.П Свирид. – Минск, 2002. Венцель, Е.С. Курс теории вероятностей / Е.С.Венцель. – М.: Наука, 1969. – 576 с. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е.Гмурман. – М.: Высш.шк., 2002. – 479 с. Высшая математика для инженеров:: учеб. пособие для вузов: в 2 т. / С.А.Минюк [и др.]; под ред. Н.А.Микулика. – Минск: ООО «Эллада», 2004. – 2 т. Герасимович, А.И. Математическая статистика / А.И.Герасимович. – Минск: Выш.шк., 1983. – 280 с. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей: учеб. / Б.В.Гнеденко. – 6-е изд. – М.: Наука, 1988. – 488 с. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.Гмурман. – М.:Высш. шк., 2002. – 479с.
