Задача 1. Случайные события. Вероятность события
В задачах 1.1-1.5 подбрасываются две игральные кости.
1.2. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел делится без остатка на шесть.
Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент.
Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4.
Найти вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход.
Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
3.14. В тире имеется три ружья, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5; 0,7; 0,9.
Определить вероятность попадания при одном выстреле, если ружье выбрано наугад.
Задача 4. Формула Бернулли
4.10. Вероятность появления события А в каждом из 15 независимых опытов равна 0,3. Определить вероятность появления события А семь или восемь раз.
Задача 5. Дискретная случайная величина
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найти p отмеченные *.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Задача 6. Непрерывная случайная величина
Случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .
Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).
Задача 8. Двухмерные случайные величины
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Задача 10. Обработка одномерной выборки
По выборке одномерной случайной величины:
- получить вариационный ряд;
- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);
- построить гистограмму равноинтервальным способом;
- построить гистограмму равновероятностным способом;
- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);
- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия c2 и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F*(x) в той же системе координат и на том же листе.
Задача 11. Обработка двухмерной выборки
По выборке двухмерной случайной величины:
- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);
- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии;построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
Опишем через события работу элементов цепи. Пусть событие А1 состоит в том, что работает элемент 1, событие А2 – элемент 2, событие А3 – элемент 3, событие А4 – элемент 4.
По условию - вероятности противоположных событий, т.е. того, что элементы 1, 2, 3,4 не работают и ток через них не идет, есть:
Тогда вероятности этих событий есть:
Анализируем заданную цепь и определяем участки цепи с последовательным и параллельным соединением.
На рис. 2.1 элементы 1 и 2 соединены параллельно. А элементы 1 и 2 соединены последовательно с элементами 3, 4.
Цепь будет работать, если:
будут работать одновременно элементы Р1 , Р2, Р3 , Р4 либо будет работать элемент Р1 и элементы Р4, Р3 (элемент Р2 откажет) либо будет работать элемент Р2 и элементы Р4, Р3 (элемент Р1 откажет)
= 0,9*0,8*0,7*0,6+0,9*0,2*0,7*0,6+0,8*0,1*0,7*0,6 = 0,4116
Список использованной литературы:
Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: –Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1977. – 479 с. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с. Волковец А.И., Гуринович А.Б., Аксенчик А.В. «Теория вероятностей и математическая статистика». Методические указания по типовому расчету для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР - Мн.: БГУИР, 2009.- 65с.
