ТВиМС - Вариант 14 (Задания 32, 13, 26, 40, 37, 27, 23, 24, 17, 44, 66)

Контрольная работа. Случайные события и величины

Задача 1. Случайные события. Вероятность события

1.31. В урне 6 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают шар – отмечается его цвет и он возвращается в урну, после этого вынимают второй шар. Найти  вероятность того, что шары будут разных цветов.

1.32. Условие задачи 1.31. Найти вероятность, что шары будут белые.

Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент.

Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4.

Найти вероятность того, что сигнал пройдет с входа на выход.

Рис. 2.1

Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

3.26. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.

Задача 4. Формула Бернулли

4.40. Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что шесть раз она упадет гербом вверх?

Задача 5. Дискретная случайная величина

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5  с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найти p отмеченные *.

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица 5.1

Задача 6. Непрерывная случайная величина

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .

Таблица 6.1

Контрольная работа №2. Функции и системы случайных величин

Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=j(X) и определить плотность вероятности g(y).

Таблица 7.1

Задача 8. Двухмерные случайные величины

Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:

 Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Рис. 8.1

Таблица 8.1

Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :

                                 .

Конкретные значения коэффициентов  и числовые характеристики случайных величин  приведены в табл. 9.1.

                                                                  Таблица 9.1

Контрольная работа №3. Математическая статистика

Задача 10. 44. Обработка одномерной выборки

Условие задачи

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (γ = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия c²  и критерия Колмогорова (a = 0,05). График гипотетической функции распределения F0(x) построить совместно с графиком F^*(x) в той же системе координат и на том же листе.

-0.26  3.75  4.99  6.05  2.57  4.14  2.55  0.10  2.62  2.73  4.54  7.23  6.38  3.58  6.71  0.31  5.77  6.15  4.76  4.03  3.51  6.42 -0.17  0.61  6.01  2.57  2.20  1.49  3.97  2.85  6.78  1.87  2.75  3.90  3.41  5.64  7.37  4.92  7.26  0.33  4.40  5.81  1.68  2.37  0.57  3.23  5.19  0.42  5.36  0.21 -0.05  0.42  5.52  7.45  1.14  4.39  5.41  0.24  0.38  3.24  2.50  4.00  3.12  2.32 -0.37  6.06  0.47  5.27  6.73  5.60  3.96  2.41  2.67  6.99  3.51  4.63  4.48  1.90  4.99  6.13  4.02  3.93  3.71  0.31  2.93  2.12  6.39 -0.23  5.12  4.53  1.70  5.87  2.99  2.55  4.00  2.09  3.41  6.92  2.54 -0.04

Задача 11. Обработка двухмерной выборки

Условие задачи

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ = 0,95);

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

- вычислить оценки параметров a0 и a1 линии регрессии;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Двумерная выборка № 66:

(-3.67; -1.56)  ( -2.24; -4.18)  ( -6.05; -6.66)  ( -3.82; -4.70)  ( -3.73; -2.70)  ( -5.32; -4.99)  ( -5.44; -1.50)

( -7.05; -4.75)  (-4.85; -4.05)  ( -5.51; -4.16)  ( -5.92; -1.45)  ( -2.00; -2.39)  ( -6.48; -1.94)  ( -5.52; -5.44)

( -1.40; -4.62)  ( -4.53; -2.67) (-4.49; -1.89)  ( -4.68; -3.90)  ( -3.51; -3.76)  ( -4.08; -7.32)  ( -5.94; -2.25)

 ( -4.92; -3.01)  ( -3.20; -6.63)  ( -4.88; -2.73)  (-4.00; -1.47)  ( -3.67; -3.92)  ( -5.39; -3.41)  ( -4.92; -4.44)

 ( -4.16; -3.24)  ( -4.94; -4.17)  ( -5.20; -5.63)  ( -6.86; -2.40)  (-2.97; -4.69)  ( -4.95; -4.84)  ( -5.04; -3.37)

 ( -4.10; -2.74)  ( -7.38; -3.55)  ( -5.57; -3.31)  ( -4.12; -4.86)  ( -4.87; -3.31)  (-5.16; -4.28)  ( -4.93; -3.07)

 ( -5.00; -2.76)  ( -3.48; -4.94)  ( -5.47; -2.12)  ( -6.05; -4.79)  ( -2.40; -3.76) ( -4.52; -4.12) (-2.64; -3.19)

 ( -2.98; -3.74)