Задание 1
Даны координаты вершин треугольника АВС.
Найти:
1) длину стороны ВС;
2) уравнение стороны ВС;
3) уравнение высоты, проведённой из вершины А;
4) расстояние от вершины В до стороны АС;
5) уравнение медианы ВD:
А(х1, у1) = А(5; -3); В(х2, у2) =В(1; 0); С(х3, у3) =С(17; 2)
Задание 2
Вычислить пределы: ; ;
Задание 3
Провести полное исследование свойств функций f(х) и g(x) с помощью производной. Построить эскиз их графиков.
Задание 4
Обе задачи линейного программирования (на максимум и на минимум) решить графически:
Z = X1 + Х2
Задание 5
Для задачи линейного программирования:
Z = 4X1 +2Х2 + Х3
Построить двойственную задачу. Построенную двойственную задачу решить симплекс-методом. По найденному решению двойственной задачи записать оптимальное решение исходной задачи.
Задание 6
Для транспортной задачи:
1) найти начальный план перевозок методом северо-западного угла и
решить ее методом потенциалов,
2) найти начальный план перевозок методом минимального элемента и
решить ее методом потенциалов.
Таблица 1
|
поставщики |
потребители |
запас |
||
|
В1 |
В2 |
В3 |
||
|
А1 |
10 |
9 |
8 |
90 |
|
А2 |
7 |
5 |
11 |
25 |
|
А3 |
5 |
6 |
9 |
45 |
|
спрос |
35 |
55 |
80 |
|
Задание 7
Изобразить на плоскости множество точек с координатами (хi, yi). Методом наименьших квадратов найти неизвестные параметры а и b линейной зависимости и построить её график.
|
0,3 |
0,5 |
0,8 |
1,1 |
2,3 |
|
|
1,4 |
0,7 |
-0,9 |
-2,3 |
-8,8 |
Задание 8
Найти безусловные экстремумы функции f (x, y):
Задание 9
Заданы функции спроса на товар , где m=2 – номер варианта контрольной работы, и издержек обращения .
Найти цену товара p у.е. и его объём q , при которых прибыль будет максимальной.
Задание 10
Задана функция спроса q(р) =, где p – цена товара в у.е.
Определить на сколько процентов изменится спрос, если цена, равная p0=2 у.е. увеличится на r=5 %.
Определить при каких значениях p спрос является эластичным?
Задание 11
Предприниматель решил выделить на расширение своего бизнеса 100m=200 тыс. евро, где m=2– номер варианта в контрольной работе.
Известно, что если на приобретение нового оборудования затратить x тыс. евро, а на зарплату вновь принятых работников y тыс. евро, то прирост объёма продукции Q составит .
Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным?
Решение
Обозначим через Хij количество единиц продукции (поставку), которое планируется к перевозке из пункта Аi в пункт Вj - потребления, а через f - общие затраты, связанные с выпуском и доставкой продукции.
Суммарная мощность поставщиков 90+25+45=160 ед. меньше объема потребностей 35+55+80= 170 ед. на 10 ед. Следовательно, модель задачи открытая. Часть заказов (10 ед.) останется невыполненной.
Составим экономико-математическую модель задачи.
Ограничения по мощностям поставщиков:
Ограничения по потребностям:
Х11+Х21+Х31= 35
Х12+Х22+Х32= 55
Х13+Х23+Х33= 80
Условия неотрицательности: Хij 0
Целевая функция: f = 10Х11+ 9Х12+ 8Х13 +…+ 9Х33 min
Так как суммарная мощность поставщиков меньше объема потребностей на 10 ед., то введя фиктивного поставщика А4 с наличием товара в 10 ед. и нулевыми суммарными затратами, получим закрытую модель задачи, а в табл.1 добавится один столбец (табл.2).
Таблица 2
|
поставщики |
потребители |
запас |
||
|
В1 |
В2 |
В3 |
||
|
А1 |
10 |
9 |
8 |
90 |
|
А2 |
7 |
5 |
11 |
25 |
|
А3 |
5 |
6 |
9 |
45 |
|
А4 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
спрос |
35 |
55 |
80 |
|
Таблица 3
|
поставщики |
потребители |
Наличие ресурсов |
||
|
В1 |
В2 |
В3 |
||
|
А1 |
10 х11 |
9
х12 |
8 х13 |
90 |
|
А2 |
7 х21 |
5 х22 |
11 х23 |
25 |
|
А3 |
5 х31 |
6 х32 |
9 х33 |
45 |
|
А4 |
0 Х41 |
0 Х42 |
0 Х43 |
10 |
|
Потребность в ресурсах |
35 |
55 |
80 |
|
1) Построим начальный опорный план задачи способом северо-западного угла.
Первой загружается клетка (1,1). Сопоставляя количество товара у поставщика А1 (90 ед.) с заявкой потребителя В1 (35 ед.) заключаем, что эту заявку можно удовлетворить полностью за счет А1, т.е. поставка Х11 = 35 и первый столбец закрывается.
55 ед. товара для потребителя В2 возьмем у поставщика А1, Х12=55 и второй столбец и первая строка закрываются одновременно: поэтому, Х42=0 (как у клетки с наименьшим тарифом перевозок).
Следующей надо загружать клетку (4; 3). 10 ед. товара для потребителя В3 возьмем у поставщика А4, Х43=10 и столбец В3 закрывается.
Рассуждая аналогично, загружаем клетку (3; 3) поставкой Х33=45 и т.д.
Для большей наглядности этапы построения опорного плана указаны индексами при поставках (таблица 4)....
Список использованной литературы:
Гусак А.А. и др. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 2000. – 640 с. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. – М.: Высш. шк., 1986. – 415 с. Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб./ А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др. – Мн.: Выш. шк., 2000. 351 с. Кудрявцев А.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 2006.
