Задание 1
Вычислить:
1-3) производную ;
4) производные и ;
5) в данной точке x0: (x0);
6) производную n-го порядка для данной функции y(x).
1)
2)
3)
4)
5) . X0=0
6)
Задание 2
Провести полное исследование данной функции и построить ее график.
Задание 3
Написать:
1) уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности S, заданной уравнением z=f(x,y), в точке (x0, y0, f(x,y));
2) grad z в точке M0(x0,y0);
3) производную функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению вектора .
Задание 4
Фирма имеет два филиала, издержки производства в которых описываются функциями и соответственно, где х и у – объемы продукции, производимой каждым филиалом.
Общий спрос на товары фирмы определяется ценой р единицы продукции, зависящей от суммарного объема выпускаемой продукции и определяемой функцией .
Рассчитать оптимальный объем выпуска продукции для производителя, оптимальную цену в целом и распределение производственной программы по филиалам.
Задание 5
Имеется два технологических процесса производства некоторого изделия. Издержки производства при каждом технологическом процессе описываются функциями и соответственно, где х и у – объемы производимых изделий при первом и втором технологическом процессах соответственно.
В течение некоторого времени нужно произвести b единиц изделий, используя оба технологических процесса. Выпуск изделий надо распределить таким образом, чтобы минимизировать общие издержки.
Задание 6
Экспериментально получены пять значений функции y=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в табл. 5.1.
Таблица 5.1
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Y |
2,0 |
2,6 |
3,9 |
4,5 |
6,0 |
Методом наименьших квадратов найти функцию вида Y=ax+b, выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию y=f(x).
Сделать чертеж, на котором в прямоугольной декартовой системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Y=ax+b.
Задание 7
Найти неопределенные интегралы. В пп. 1) и 2) результат проверить дифференцированием.
Задание 8
Вычислить определенные интегралы.
Задание 9
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Ox.
Задание 10
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
Задание 11
Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
Задание 12
Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Нарисовать проекцию тела на плоскость Оху.
Составляем функцию общих издержек.
В соответствии с условиями задачи необходимо произвести изделий.
Поскольку уравнение связи является линейным, поставленную задачу на нахождение условного минимума проще решать не методом Лагранжа, а сведением к задаче на локальный минимум функции одной переменной. Для этого из уравнения связи выразим, например, переменную у, у=200-х.
Подставив в функцию , получим функцию -
Исследуем эту функцию на экстремум:
- точка минимума функции.
Находим у=200-100=100. Полученная точка (100; 100) – точка условного минимума поставленной задачи.
Итак, для минимизации общих издержек нужно 100 изделий произвести первым технологическим способом, а 100 – вторым.
Список использованной литературы:
Гусак А.А. и др. Справочник по высшей математике. – Мн.: ТетраСистемс, 2000. – 640 с. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. – М.: Высш. шк., 1986. – 415 с. Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб./ А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др. – Мн.: Выш. шк., 2000. 351 с. Кудрявцев А.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 2006.
