Задание 1
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
1) ; 2)
Задание 2
Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
Задание 3
Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Нарисовать проекцию тела на плоскость Оху.
Задание 4
Найти общее решение дифференциального уравнения
Задание 5
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Задание 6
С помощью методом характеристического уравнения найти общее решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Задание 7
Исследовать сходимость числового ряда
Задание 8
Найти интервал сходимости числового ряда
Задание № 9
Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале :
Решение
Здесь .
Найдем радиус сходимости ряда:
.
Следовательно, ряд сходится, если
, т.е. .
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка.
Если , то получаем знакочередующийся ряд
Применим к данному знакочередующемуся ряду признак Лейбница.
Условия признака Лейбница выполнены:
.
Следовательно, этот ряд сходится.
Определим характер сходимости данного ряда.
Исследуем ряд , составленный из модулей членов данного ряда.
Т.к. ряды вида сходятся при , то ряд - сходится.
Поскольку ряд сходится и ряд - также сходится, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Если , то получаем ряд –
,
который сходится (ряд Дирихле; ).
Итак, степенной ряд сходится для значений , удовлетворяющих двойному неравенству , т.е. область сходимости - закрытый интервал .
Список использованной литературы:
-
