СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ……………………...……..5
2. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ………………………………..…..7
2.1 Тетраэдр………………………………………………………...………8
2.2 Гексаэдр……………………………………………………….....……..9
2.3 Октаэдр…………………………………………………………….….10
2.4 Додэкаэдр………………………………………………………..……11
2.5 Икосаэдр………………………………………………………………12
3. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ………………………..….16
3.1 Тела Архимеда…………………………………………................…..20
3.2 Тела Кеплера-Пуансо………………………………………………...25
3.3 Тела Федерова………………………………………………….……..27
3.4 Каталановы тела………………………………………………………27
4. ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ……………………………………………..…..28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….35
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………..……..37
ПРИЛОЖЕНИЯ………………………………………………………………….39
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «???????» — объемный, пространственный и «??????» — измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Стереометрия (от др.-греч. ???????, «стереос» — «твёрдый, объёмный, пространственный» и ??????, «метрео» — «измеряю») — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.
Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).
Аксиомы стереометрии:
На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Любая плоскость ? разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
-любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью ?;
-любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью ?.
Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.
Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.
Грани многогранника - это ограничивающие его многоугольники.
Ребра - стороны граней.
Вершины - вершины многоугольников.
Диагональ многоугольника - это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
Выпуклый многоугольник - расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
В противном случае многогранник - невыпуклый.
В выпуклом многограннике все диагонали лежат внутри него.
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники выделяются необычными свойствами, самое яркое из которых формулируется в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число ребер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.
Список использованной литературы:
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Боровиков В.А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках / В.А. Боровиков. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 2018. - 456 c.
2. Волшебные грани № 11. Многогранник. Соединение пяти тетраэдров. - Москва: СПб. [и др.] : Питер, 2017. - 244 c.
3. Волшебные грани № 12. Многогранник. Правильные многогранники. - М.: Многогранники, 2016. - 691 c.
4. Волшебные грани №1. Большой звездчатый додекаэдр. Звездчатый многогранник. - М.: Многогранники, 2014. - 483 c.
5. Волшебные грани №1. Усеченный многогранник додэка-додекаэдр. - М.: Многогранники, 2014. - 681 c.
6. Волшебные грани №13. Звездчатый многогранник. - М.: Многогранники, 2015. - 596 c.
7. Волшебные грани №14. Многогранники. Пирамиды. - М.: Многогранники, 2016. - 829 c.
8. Волшебные грани №15. Звездчатый октаэдр. Звездчатый многогранник. - М.: Многогранники, 2016. - 677 c.
9. Волшебные грани №16. Призмы. Многогранники. - М.: Многогранники, 2016. - 785 c.
10. Волшебные грани №3. Малый икосо-геми-додекаэдр. Усеченный многогранник. - М.: Многогранники, 2014. - 659 c.
11. Волшебные грани №4. Малый звездчатый додекаэдр. Звездчатый многогранник. - М.: Многогранники, 2014. - 681 c.
12. Волшебные грани №5. Большой додекаэдр. Звездчатый многогранник. - М.: Многогранники, 2014. - 126 c.
13. Волшебные грани №9. Звездчатый многогранник "Большой икосаэдр". - М.: Многогранники, 2014. - 310 c.
14. Киселев А.П. Геометрия (планиметрия, стереометрия) / А.П. Киселев. - М.: [не указано], 2017. - 124 c.
15. Комплект таблиц. Математика. Многогранники. Тела вращения. 11 таблиц + 64 карточки + методика. - М.: Спектр (пособия), 2017. - 556 c.
16. Пажитнов В.В. Близился вечер, или Краски, кисть и корень многогранника / Виталий Владиславович Пажитнов. - М.: Издательские решения, 2014. - 856 c.
17. Потоскуев Е.В. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Задания 14, 16. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия / Е.В. Потоскуев. - М.: Экзамен, 2017. - 192 c.
18. Потоскуев Е.В. ЕГЭ. Геометрия. Задания 14, 16. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия / Е.В. Потоскуев. - Москва: Машиностроение, 2016. - 224 c.
19. Рассел Дж. Звёздчатый многогранник / Джесси Рассел. - М.: VSD, 2014. - 863 c.
20. Смирнов В.А. Геометрия. Стереометрия / В.А. Смирнов. - М.: МЦНМО, 2013. - 272 c.
21. Смирнов В.А. Геометрия. Стереометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ / В.А. Смирнов. - М.: МЦНМО, 2013. - 272 c.
22. Смирнов Е.Ю. Группы отражений и правильные многогранники / Е.Ю. Смирнов. - М.: МЦНМО, 2014. - 613 c.
23. Смирнов Е.Ю. Группы отражений и правильные многогранники / Е.Ю. Смирнов. - М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2018. - 728 c.
24. Шахмейстер А.Х. Геометрические задачи на экзаменах. Часть 2 Стереометрия. Часть 3 Векторы / А.Х. Шахмейстер. - М.: Петроглиф, 2018. - 293 c.
25. Шахмейстер А.Х. Геометрические задачи на экзаменах. Часть 2. Стереометрия. Часть 3. Векторы / А.Х. Шахмейстер. - М.: Петроглиф, МЦНМО, КДУ, 2014. - 488 c.
