Содержание
Первообразная и неопределенный интеграл……………………..………3
Некоторые свойства неопределенного интеграла……………………..…5
Определенный интеграл и его применение………………………………6
Способы интегрирования…………………………………………..…….12
Список использованных источников…………………………………….……..15
Первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, если F′(x)=f(x) для всех ∈X. Если F(x−)первообразная функции f(x), то Φ(x) является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда Φ(x)=F(x)+C, где C - некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом ∫f(x)dx. Таким образом, по определению ∫f(x)dx=F(x)+C, где F(x) одна из первообразных функции f(x) а постоянная Cпринимает действительные значения.
Свойства неопределенного интеграла.
(∫f(x)dx)′=f(x). ∫f′(x)dx=f(x)+C. ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.a≠0. ∫(f1(x)+f2(x))dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx.
Таблица основных неопределенных интегралов.
∫dx=x+C ∫xαdx=xα+1α+1+C ∫dxx=ln|x|+C ∫axdx=axlna+C ∫exdx=ex+C ∫sinxdx=−cosx+C ∫cosxdx=sinx+C ∫dxcos2x=tgx+C ∫dxsin2x=−ctgx+C ∫dxa2−x2√=arcsinxa+C ∫dxx2±a2√=ln∣∣x+x2±a2−−−−−−√∣∣+C ∫dxx2+a2=1aarctgxa+C ∫dxx2−a2=12aln∣∣x−ax+a∣∣+C ∫shxdx=chx+C ∫chxdx=shx+C ∫dxch2x=thx+C ∫dxsh2x=−cthx+C
Примеры.
Найти первообразные следующих функций:
6.1. 2x7.
Решение.
Из определения первообразной следует, что нам необходимо найти такую функцию F(x),
что F′(x)=2x7.
(x8)′=8x7⇒(14x8)′=2x7.
Таким образом, F(x)=0,25x8,
а все первообразные заданной функции имеют вид 0,25x8+c.
Ответ: 0,25x8+c.
6.4.x3+5x2−1x.
Решение.
Из определения первообразной следует, что нам необходимо найти такую функцию F(x),
что F′(x)=x3+5x2−1x=x2+5x−1x.
(x3)′=3x2⇒(13x3)′=x2;
(x2)′=2x⇒(52x2)′=5x;
(ln|x|)′=1x.
Отсюда находим,
F(x)=13x3+52x2−ln|x|,
а все первообразные заданной функции имеют вид 13x3+52x2−ln|x|+c.
Ответ: 13x3+52x2−ln|x|+c.
Список использованной литературы:
Азбелев, Н. В. Функционально-дифференциальные уравнения и вариационные задачи / Н.В. Азбелев, С.Ю. Култышев, В.З. Цалюк. - М.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2016. - 122 c. Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 2015. - 432 c. Буслаев, В. С. Вариационное исчисление / В.С. Буслаев. - М.: Издательство Ленинградского университета, 2016. - 288 c Гурса Э. Курс математического анализа. Том 1. Часть 1. Производные и дифференциалы. Определенные интегралы; Книга по Требованию - Москва, 2014. - 145 c. Марон, И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной / И.А. Марон. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 2015. - 400 c. Файншмидт, В. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одного аргумента / В. Файншмидт. - М.: БХВ-Петербург, 2017. - 224 c. Федорюк, М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды / М.В. Федорюк. - М.: Либроком, 2016. - 546 c. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 2014. - 784 c.
