Понятие о функции. Способы задания функции. Элементарные функции. Предел функции. Пределы слева и справа. Бесконечно-малые величины и их связь с бесконечно-большими величинами. Основные теоремы о пределах. Первый и Второй замечательный предел. Задача, приводящая к понятию производной. Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Основные правила нахождения производных. Производная сложной и обратной функций. Таблица производных. Производная неявной функции. Дифференциал функции и его использование в приближенных вычислениях. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов. Правила Лопиталя вычисления пределов. Достаточное условие возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия экстремума функции одной переменной. Выпуклость функции. Точки перегиба. Применение теории пределов для отыскания асимптот графика функции. Схема построения графика функции. Пример построения графика функции с помощью схемы. Функции двух переменных. Частные производные, свойство смешанных производных. Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница.
Функции двух переменных
Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).
Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.
Далее будем говорить лишь о функции Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции - z.
Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y).
Множество D называется областью определения функции.
График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность
Очевидно, что нельзя ввести понятия возрастания или убывания (монотонности) функции двух переменных.
Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.
Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число d , что из условия M(x,y) Î Vd (x0,y0) следует f(x,y) > f(x0,y0).
Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число d , что из условия M(x,y) Î Vd (x0,y0) следует: f(x,y) < f(x0,y0).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума.
Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):
,
если для произвольного числа e > 0 найдется такое число d > 0, что для всех точек M(x,y) из d-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство
|f(x,y) - A|<e .
Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если .
Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.
Список использованной литературы:
